TEMA 44

ESTRUCTURAS RESISTENTES A LOS ESFUERZOS

INDICE

1 � Introducci�n

2 � Sistemas articulados

3 � Sistemas Isost�ticos e Hiperest�ticos

4 � An�lisis de estructuras articuladas Isost�ticas

�� 4.1 � Generalidades

�� 4.2 � M�todo de los nudos

�� 4.3 � Procedimiento gr�fico de Cremona

�� 4.4 � M�todo de las secciones o de Ritter

5 � Armaduras

�� 5.1 � Generalidades

�� 5.2 � Armaduras simples

�� 5.3 � Armaduras tridimensionales

6 � P�rticos

Gui�n-Resumen

Bibliograf�a

1 � Introducci�n

Se llaman estructuras a todas las partes de una construcci�n compuestas por varios elementos rectil�neos unidos entre s� por sus extremos y cuya misi�n es soportar las cargas a las que se encuentra sometida.

Las uniones entre sus elementos pueden ser constructivamente soldadas, remachadas o atornilladas, quedando m�s o menos r�gidas por emplearse m�s de un remache o tornillo en cada uni�n.

Para su c�lculo sin embargo, las uniones se consideran de dos tipos, articuladas o r�gidas. Cuando la parte fijada de los elementos es peque�a respecto a su longitud se consideran las uniones como articuladas, es decir como articulaciones sin rozamiento que permiten el giro de un elemento respecto a otro; en caso contrario se consideran como r�gidas no permiti�ndose el giro, y por tanto no pudiendo variar el �ngulo que forman los elementos en la uni�n.

En este tema estudiaremos los sistemas articulados en general, las armaduras y los p�rticos.

Las armaduras son un tipo de estructuras muy utilizado, especialmente en el proyecto de puentes y cubiertas. Consisten en una serie de elementos rectos o barras conectadas entre s� mediante juntas o nudos articulados.

Los p�rticos son estructuras formadas por vigas y pilares r�gidamente unidos entre s�, de modo que al sufrir deformaciones, el �ngulo que forman en sus uniones los elementos que concurren no var�a.

2 � Sistemas articulados.

Los sistemas articulados son uno de los tipos de estructuras mas utilizados para la soluci�n de puentes, cubiertas, torres, gr�as, etc.

Consisten en un conjunto de barras o elementos rectos conectados entre s� por sus extremos, denomin�ndose los puntos de uni�n nudos (Fig. 1). En la pr�ctica est�n compuestos por varias estructuras articuladas planas, para formar un entramado espacial. Cada estructura articulada plana est� pensada para soportar cargas que act�an en su propio plano, pudi�ndose tratar como estructuras bidimensionales.

Figura 1�� Figura 2��

Sus barras s�lo pueden soportar peque�as cargas en los nudos y no en las propias barras. En el caso de que las cargas vayan a estar repartidas sobre las barras, se dispone un forjado, que mediante correas y vigas transmita las cargas a los nudos en lugar de a las barras.

Se supone tambi�n que los pesos de las barras son despreciables frente a las cargas exteriores, y en caso de considerarse se reparten por igual en los dos nudos extremos; y que las uniones entre las barras en los nudos se realizan con pasadores; con lo que de acuerdo con estas hip�tesis, en cada barra hay aplicadas dos fuerzas iguales y opuestas en sus extremos que llevan la direcci�n de la barra y que tienden a estirarla o acortarla (Fig. 2). En el primer caso diremos que la barra trabaja a tracci�n y en el segundo a compresi�n.

Figura 3�� Figura 4�� Figura 5

En la realidad muy pocas juntas articuladas se construyen con pasadores que permitan libremente el giro de las barras, sino que las uniones est�n atornilladas, remachadas e incluso soldadas. Tales juntas pueden ejercer pares sobre las barras, pero estos pares o momentos se desprecian por ser muy peque�os en comparaci�n con las fuerzas de tracci�n o compresi�n a que est�n sometidas las barras.

Los sistemas articulados, para ser utilizables como estructuras han de ser r�gidos. Se dice que son r�gidos cuando la �nica deformaci�n posible se debe a peque�os cambios en la longitud de sus barras. Si consideramos la estructura representada en la figura 3, compuesta por cuatro barras conectadas por pasadores; al aplicar una carga en C, las estructura perder� su forma original y se mover�, con lo que en realidad se trata no de una estructura r�gida sino de lo que se denomina un mecanismo. Si por el contrario la estructura est� formada por solo tres barras (Fig. 4), solo se deformar� ligeramente, alarg�ndose o acort�ndose sus barras bajo la acci�n de la carga aplicada en C, trat�ndose en este segundo caso de una estructura r�gida.

Para obtener estructuras de mayor tama�o basta con a�adir, a una estructura r�gida de este tipo, dos barras adicionales unidas entre s� y cada una de ellas a un nudo diferente de la estructura (Fig. 5). Una estructura construida de esta forma, que sigue siendo r�gida, se denomina estructura articulada simple, y si est� formada por tri�ngulos tendremos estructuras articuladas:

- r�gidas (no se mueven, no son mecanismos)

- simples (formadas por adici�n de dos barras y un nudo)

- triangulares (formadas solo por tri�ngulos)

3 � Sistemas Isost�ticos e Hiperest�ticos

Una vez establecida una estructura articulada plana r�gida, se ha de fijar en el plano mediante los apoyos o enlaces externos necesarios para impedir cualquier movimiento.

Si el n�mero de inc�gnitas (reacciones) en los apoyos es 3 y el n�mero de barras es b = 2n - 3, siendo n el n�mero de nudos, el sistema es isost�tico, lo que significa que es r�gido y se puede resolver utilizando exclusivamente las ecuaciones de la est�tica, ya que el n�mero de ecuaciones disponibles es igual al n�mero de inc�gnitas:

- Inc�gnitas: b(esfuerzos en las barras) + 3(reacciones apoyos)

�� = b + 3 = 2n � 3 + 3 = 2n

- Ecuaciones: 2n

El n�mero de ecuaciones de equilibrio disponibles es tambi�n 2n, ya que si se a�sla un nudo, el equilibrio de fuerzas concurrentes en �l proporciona dos ecuaciones para cada nudo:

SFh = 0 (Fuerzas horizontales)�� SFv = 0 (Fuerzas verticales)

Por lo que para el n nudos se dispone de 2n ecuaciones.

Para el c�lculo pr�ctico de las armaduras no se utiliza el planteamiento de este sistema general de 2n ecuaciones por resultar muy laborioso, sino otros m�todos gr�ficos o simplificados que veremos posteriormente.

De una forma general, en funci�n de las inc�gnitas en los apoyos (r = restricciones = reacciones), n�mero de barras (b) y nudos (n), los sistemas articulados planos se pueden clasificar de la siguiente forma:

- Exteriormente (Exceso o defecto de restricciones en los apoyos):

r < 3 : Inestable

r = 3 : Isost�tico

r > 3 : Hiperest�tico

- Interiormente (Exceso o defecto de barras):

b < 2n � 3 : Inestable

b = 2n � 3 : Isost�tico

b > 2n � 3 : Hiperest�tico

Se indican a continuaci�n, algunos casos sencillos que representan ejemplos de esta clasificaci�n:

- Exteriormente:

- Inestable r < 3

Para fuerzas exteriores cuya resultante tenga componente horizontal, la estructura no es utilizable, ya que se desplazar�a.

An�logamente el a�adir una barra diagonal no soluciona el problema ya que la falta de sustentaci�n exterior no se compensa con un aumento de la rigidez interior.

- Isost�tico r = 3

- Hiperest�tico r > 3

- Interiormente

- Inestable b < 2n �3

Este sistema articulado es inestable interiormente, ya que es deformable geom�tricamente y por tanto no r�gido y no utilizable para un sistema general de cargas; trat�ndose de un mecanismo en lugar de una estructura. A estos sistemas tambi�n se les llama hipost�ticos.

- Isost�tico b = 2n � 3

- Hiperest�tico b > 2n �3

En este caso se tiene un sistema hiperest�tico interiormente por exceso de barras, ya que se dispone de una m�s de las necesarias para asegurar la indeformabilidad del sistema. N�tese que las diagonales se cruzan en el centro sin constituir nudo.

En las siguientes figuras, se representan una estructura hiperest�tica exteriormente por exceso de apoyos (viga continua) y otra hiperest�tica interiormente por exceso de barras (barras superabundantes). N�tese que el cruce de diagonales no forma nudo.

�� Viga continua�� Barras superabundantes

A continuaci�n se representa un sistema inestable interiormente que se transforma en isost�tico e indeformable a�adiendo simplemente una barra.

b = 24 < 2n � 3 = 28 � 3 = 25�� b = 25 = 2n � 3 = 25

En resumen, para que un sistema articulado sea isost�tico tanto� interior como exteriormente se han de verificar primeramente las condiciones:

�� r = 3 �� y�� b = 2n �3

Pero no basta solo esto, sino que es necesario que las barras est�n adecuadamente dispuestas, es decir, que no resulten superabundantes en una parte de la estructura e insuficientes en otra.

4 � An�lisis de estructuras articuladas Isost�ticas

4.1 - Generalidades

Una estructura articulada puede considerarse como un conjunto de barras y pasadores o nudos. Cuando es isost�tica, su an�lisis puede realizarse por los m�todos que se exponen a continuaci�n. Para ello� hay que establecer el diagrama de s�lido libre tanto para la estructura completa, como para cada barra y para cada nudo. La figura 6 muestra el diagrama de s�lido libre para una estructura completa, donde aparecen las cargas exteriores y las fuerzas de reacci�n en los apoyos. Las fuerzas sobre las barras son dos, una en cada extremo, y dirigidas en la direcci�n de dicha barra con sentidos opuestos. Por la ley de acci�n y reacci�n, las fuerzas ejercidas sobre los nudos (barras sobre nudos) ser�n iguales, pero de sentido contrario, a las fuerzas ejercidas sobre las barras (nudos sobre barras). El esfuerzo que aparece en cada barra se denomina esfuerzo axil, pudiendo ser de tracci�n cuando tiende a alargarla o de compresi�n cuando tiende a acortarla.

Cuando una estructura est� en equilibrio, tambi�n lo estar�n sus barras y sus nudos, por lo que podremos expresar las condiciones de equilibrio para toda la estructura completa, para cada barra y para cada nudo. De esta manera en las figuras 7 y 8 se muestran los diagramas de s�lido libre correspondientes a las barras y a los nudos respectivamente.

Figura 6

Figura 7 �� Figura 8

��

4.2 � M�todo de los nudos

Este m�todo de an�lisis de estructuras articuladas, es un m�todo num�rico que consiste b�sicamente en plantear las ecuaciones de equilibrio est�tico en cada nudo de la estructura. Para su desarrollo hay que realizar los siguientes pasos:

1 � Calcular las fuerzas de reacci�n en los apoyos mediante las ecuaciones de equilibrio de toda la estructura considerada como s�lido libre.

2 � Plantear la ecuaci�n de equilibrio para cada nudo y calcular la fuerza que ejerce cada barra sobre el nudo. La fuerza del nudo sobre la barra ser� igual y de sentido contrario (Fig. 9), determinando� as� el valor de las dos fuerzas que act�an sobre la barra en sus extremos y si son de tracci�n o de compresi�n.

Primeramente se supone que todas las barras trabajan a tracci�n (o compresi�n) y si el resultado obtenido es negativo significa que en realidad trabajan al rev�s, compresi�n (o tracci�n).

Figura 9

Dado que en cada nudo solo hay dos ecuaciones de equilibrio, es necesario empezar por un nudo que solo tenga dos barras y continuar el proceso siempre con nudos que, aunque tenga mas de dos barras, solo en dos de ellas sean desconocidas las fuerzas.

Para explicar pr�cticamente tanto este m�todo de an�lisis como los posteriores que veremos, se va a utilizar la estructura con la� carga y dimensiones representadas en la figura 10; que presenta la ventaja de su sencillez y la particularidad de que tal y como est� aplicada la carga, la barra "BC" no trabaja, es decir no est� sometida a ninguna fuerza.

Figura 10

1 � Calculo de las reacciones:

�

Planteamos las tres ecuaciones de equilibrio para toda la estructura considerada como s�lido libre.

SFh=0�� Rdh = 0�� Rd = Rdv��

SFv=0�� Ra + Rd - P = 0�� Ra + Rd = P

SMd=0�� Ra.3L � P.L = 0�� Ra = P/3

Rd = P � P/3�� Rd = 2P/3

2 � Calculo del nudo A (Fig. 11):

Dado que en cada nudo solo hay dos ecuaciones de equilibrio, es necesario empezar por un nudo que solo tenga dos barras y continuar el proceso siempre con nudos que, aunque tengan mas de dos barras, solo en dos de ellas sean desconocidas las fuerzas.

Hemos supuesto que todas las barras trabajan a tracci�n, es decir que las fuerzas de las barras sobre los nudos salen de ellos.

��

Figura 11�� Figura 12��

Fabh = Fab.cosa = Fab.2/

Fabv = Fab.sena = Fab.1/

Planteamos las dos ecuaciones de equilibrio del nudo:

SFv=0� (P/3)+Fab.1/ =0� �� Fab = - P/3 (- Compresi�n)

SFh=0� Fac+Fab.2/ =0 �� Fac = -(-P/3).2/ = 2P/3 (+ Tracci�n)

2 � Calculo de los restantes nudos (Fig 12).

A continuaci�n se puede proceder al c�lculo del nudo B, ya que conocida Fab, solo tiene dos fuerzas desconocidas Fbc (Barra BC) y Fbd (Barra BD). Al plantear las dos ecuaciones de equilibrio podemos considerar ya Fab, calculada anteriormente, con su sentido verdadero� que es de compresi�n, al contrario de c�mo se supuso inicialmente.

Fabh = Fab.cosa = P/3.2/ = 2P/3

Fabv = Fab.sena = P/3 . 1/ = P/3

SFh=0� Fabh + Fbdh = 0� �� 2P/3 + Fbdh = 0� �� Fbdh = -2P/3

Fbdh = Fbd.sen45� = Fbd/2� �� Fbd = 2Fbdh = - 4P/3 (- Compresi�n)

SFv=0� -P � Fbc � Fbdv + Fabv = 0� �� Fbc = -P � Fbdv + Fabv

Fbdv = Fbd.sen45� = -4P/3 . 1/2 = - 2P/3

Fbc = -P � (-2P/3) + P/3 = -P + 2P/3 + P/3 = 0 (No trabaja)

Solo queda por determinar Fcd ya sea usando el nudo C o el D. Directamente observando el nudo C y dado que Fbc = 0 la �nica forma de que est� en equilibrio es que Fac = Fcd, luego:

Fcd = Fac = 2P/3 (+ Tracci�n)

4.3 � Procedimiento gr�fico de Cremona.

El procedimiento debido a Cremona, es la aplicaci�n de forma gr�fica del m�todo de los nudos. Consiste en considerar cada nudo aisladamente, o sea, separado de la estructura, y como las fuerzas exteriores (cargas y reacciones de apoyo) e interiores de las barras que sobre �l act�an concurren en un punto, se pueden establecer por nudo dos ecuaciones de equilibrio. De manera que si operando sucesivamente, se consigue que en cada uno de los "k" nudos no existan m�s que dos barras con fuerzas desconocidas, el c�lculo de la estructura se reduce a la resoluci�n de "2k" ecuaciones en "k" grupos de ecuaciones independientes unos de otros y con dos inc�gnitas en cada grupo. La determinaci�n de las dos inc�gnitas de cada grupo independiente de ecuaciones se realiza gr�ficamente de manera sencilla, puesto que las fuerzas exteriores e interiores constituyen pol�gonos cerrados de fuerzas.

Para empezar el c�lculo con nudos en los que s�lo existan dos inc�gnitas se precisa generalmente determinar las reacciones en los apoyos, operaci�n que se efect�a planteando el equilibrio de toda la estructura considerada como s�lido libre.

En la figura 13 se representan por separado las fuerzas que act�an sobre cada nudo, y los correspondientes pol�gonos de fuerzas. Para saber si el esfuerzo en una barra es de tracci�n o de compresi�n, basta con examinar la direcci�n de las fuerzas en el pol�gono del nudo, y si la direcci�n de la fuerza se dirige al nudo, la fuerza es de compresi�n y si se separa de tracci�n.

En el nudo A se conoce y dibuja la reacci�n Ra que es vertical, como tambi�n se conocen las direcciones de las fuerzas de las barras "1=AB" y "4=AC", ya que son las direcciones de las barras, basta con trazarlas por los extremos de Ra para poder cerrar el pol�gono de fuerzas en el nudo y determinar las magnitudes de "F1=Fab" y "F4=Fac". F1 es de compresi�n ya que su sentido se dirige al nudo A, y F4 es de tracci�n ya que se aleja del mismo. Ha de tenerse en cuenta que como en este caso particular la barra "2=BC" no trabaja, su fuerza es nula y por lo tanto "F2=Fbc" no aparece en los pol�gonos de fuerzas a los que pertenece (Nudos B y C).

Como se deduce de la figura 13, cada fuerza de barra se repite en dos pol�gonos de fuerzas, los de sus nudos extremos, lo que teniendo en cuenta que se trata de una resoluci�n gr�fica lleva consigo mayores posibilidades de error. Para evitarlo, se dibuja cada pol�gono de fuerzas sobre el lado com�n del anterior, obeni�ndose una sola figura para todos ellos llamada "pol�gono de Cremona".

El m�todo gr�fico o de Cremona consiste, pues, en dibujar sucesivamente pol�gonos cerrados de fuerzas para cada uno de los nudos, pero combinados de tal forma que cada fuerza actuante en una barra, por ser com�n a dos nudos, solamente se representa una vez.

�

Figura 13

Para el an�lisis de una estructura por el m�todo de Cremona se procede de la manera siguiente:

1 � Se dibuja la estructura con exactitud, indicando todas las cargas y reacciones, utilizando dos escalas una para la estructura y otra para las fuerzas. Se numeran todas las barras y se designan con letras los nudos.

2 � Se dibuja el pol�gono de fuerzas exteriores y reacciones, de manera que se sucedan en el orden en que se presentan al girar alrededor de la estructura.

3 � Se comienza por un nudo en el que concurran dos barras, determin�ndose los esfuerzos en �stas mediante un pol�gono de fuerzas, realizado de tal manera que �stas se sucedan girando alrededor del nudo, en el sentido de las agujas del reloj.

4 � Se realiza esta operaci�n para los restantes nudos, pero eligiendo estos en un orden tal, que �nicamente existan en cada uno,al resolverlo, dos barras cuyas fuerzas se desconozcan.

5 � El sentido de las fuerzas actuantes se representa en el esquema de la estructura pero no en el pol�gono de Cremona. Se dibujan mediante flechas en los extremos de la barra las fuerzas que la barra ejerce sobre sus nudos extremos, de forma que si las flechas van hacia el exterior de la barra, est� sometida a compresi�n, y si van hacia el interior a tracci�n.

6 � Se miden, en el pol�gono de Cremona, las fuerzas que corresponden a cada barra en la escala de fuerzas elegida, y sus valores y signos se pasan a una tabla.

4.4 � M�todo de las secciones o de Ritter

El m�todo de Ritter consiste en cortar la estructura por una secci�n que intersecte solo tres barras, segregar una de las dos partes en la que ha quedado dividida la estructura y aplicar a la otra las tres ecuaciones de equilibrio en la forma de tres ecuaciones de momentos. Es el m�todo m�s efectivo cuando se desean conocer los esfuerzos en una o en pocas barras, sin analizar la totalidad de la estructura.

La estructura de la figura siguiente queda dividida en dos partes por la l�nea �mn� que corta tres barras, las AB, BC y CD. El trozo izquierdo estar� en equilibrio bajo la acci�n de las fuerzas exteriores (fuerzas externas y reacciones) que act�an sobre �l y de las acciones que la parte derecha segregada ejerce sobre la izquierda que es la que se analiza. De las acciones que la parte derecha ejerce a trav�s de las barras, se conoce su direcci�n, faltando por determinar su intensidad y sentido, para lo que se dispone de tres ecuaciones de equilibrio en forma de tres ecuaciones de momentos respecto a tres puntos. Estos puntos se eligen de forma que resulten ser las tres intersecciones (A, B, C) de las barras cortadas (AB, BC y CD) tomadas dos a dos.

Se toma el criterio de que las fuerzas en las barras cortadas son positivas, es decir trabajan a tracci�n, cuando se alejan de secciones cortadas por la l�nea �mn�, y as� se suponen. La ecuaci�n de momentos correspondiente determinar� tanto la intensidad como el sentido de la fuerza de la barra, que ser� realmente de tracci�n cuando resulte + y de compresi�n cuando resulte -.

A continuaci�n, y seg�n el siguiente dibujo, se resuelve la estructura planteada utilizando este m�todo:

Tomando momentos respecto a los puntos A, B y C tenemos:

SMa=0�� -Fbc.2L = 0�� Fbc = 0

SMb=0�� Ra.2L�Fcd.L = 0�� Fcd = 2Ra = 2P/3�� (+) � Tracci�n

SMc=0�� Ra.2L+Fab.d = 0�� siendo�� d = 2L.sena = 2L.1/

(P/3).2L+Fab.2L.1/ = 0�� Fab = -P/3�� (-) � Compresi�n��

No siempre como en el caso anterior los puntos de intersecci�n de las barras en los cuales se aplican las tres ecuaciones de momentos son nudos de la estructura; pudiendo resultar puntos alejados o incluso en el infinito como en el caso de dos barras paralelas. Entonces puede reemplazarse la tercera ecuaci�n de momentos por una de proyecci�n de fuerzas sobre la vertical. As� en la estructura representada a continuaci�n, una vez determinadas las fuerzas en las barras �O2� y �U1� por ecuaci�n de momentos alrededor de los puntos "1" e "I", como el punto de intersecci�n de las barras �O2� y �U1� se halla alejado (en el infinito en este caso), se sustituye la tercera ecuaci�n de momentos por otra de proyecciones de fuerzas sobre la vertical, obteni�ndose:

Ra-P1-D1.sena=0;�� D1=(Ra-P1)/sena

De todo lo expuesto se desprende que el m�todo de Ritter no se puede utilizar si la secci�n corta a m�s de tres barras, ya que s�lo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio.

5 � Armaduras

5.1 � Generalidades

Si conectamos con pasadores los extremos de tres barras para formar un tri�ngulo y agregamos soportes como se muestra en la figura 14(a), obtenemos una estructura que puede soportar una carga F. Podemos construir estructuras mas elaboradas agregando m�s tri�ngulos (Fig. 14(b)(c)). Las estructuras realizadas de esta forma se llaman armaduras, las barras son sus miembros, y los lugares en que se unen entre s� son los nudos de la armadura que son juntas articuladas. Otra caracter�stica de este tipo de estructuras es que est�n soportadas y cargadas exclusivamente en los nudos, y que las barras, de las que generalmente se desprecia su peso, se consideran sometidas exclusivamente a fuerzas axiles de tracci�n o compresi�n.

Figura 14

La armadura es uno de los tipos m�s importantes de estructuras empleadas en ingenier�a. Proporciona una soluci�n, a la vez pr�ctica y econ�mica, especialmente en puentes, cubiertas y vigas principales de edificaci�n, sobre todo cuando hay que salvar grandes distancias con una estructura de peso reducido.

Las estructuras, en la pr�ctica, se hacen con varias armaduras paralelas para formar un armaz�n tridimensional. El proyecto de cada armadura se hace de modo que soporte aquellas cargas que act�an en su plano y, por consiguiente, puede considerarse como una estructura bidimensional. En la figura 15 podemos ver la estructura tridimensional de un puente de ferrocarril formada por dos armaduras bidimensionales (Vigas principales).

Figura 15

Las barras de una armadura son delgadas y pueden soportar solo peque�as cargas laterales, por lo que todas las cargas deben aplicarse solo en los nudos. Cuando tenga que aplicarse una carga concentrada o repartida entre dos nudos, se debe adaptar un sistema� que mediante el empleo de largueros, viguetas y arriostramientos, transmita la carga a los nudos, como se puede ver en el puente de la figura 15.

Para su c�lculo se suele despreciar el peso propio de las barras, pero en el caso de que se tenga en cuenta, se considera aplicado a los nudos, de modo que la mitad del peso de cada barra se aplica a cada uno de sus nudos extremos. Aunque las barras est�n realmente unidas mediante remaches, tornillos o incluso soldadas, se supone que est�n unidas mediante un pasador (articulaci�n), con lo que pueden girar libremente alrededor del nudo y en este no puede existir ning�n par.

En la figura 16 se ven representadas varias armaduras t�picas, en dos grupos, las armaduras de cubierta tambi�n llamadas "cerchas" y las vigas armadura tambi�n llamadas "j�cenas".

�� Cerchas o armaduras de cubierta

�� J�cenas o vigas armaduras

Figura 16

5.1 � Armaduras simples

La armadura de la figura 17(a) que est� formada por tres barras en conexi�n mediante pasadores en A, B y C, constituye la armadura� bidimensional o plana m�s sencilla, y ante la carga aplicada la �nica deformaci�n posible es la que se origine por peque�os cambios en la longitud de sus barras.

Como se ve en la figura 17(b) puede obtenerse una armadura plana m�s grande a�adiendo dos barras BD y CD. Este procedimiento puede repetirse tantas veces como se desee, y la armadura resultante ser� r�gida si cada vez que le a�adimos dos nuevas barras, las unimos a dos nudos diferentes ya existentes, y las conectamos entre s� mediante un nuevo nudo. Una armadura que puede construirse de esta manera se llama armadura "simple". Debe observarse que una armadura simple no est� formada necesariamente por solo tri�ngulos. La armadura de la figura 17(c), por ejemplo, es una armadura simple que se ha construido a partir del tri�ngulo ABC, a�adiendo sucesivamente los nudos D, E, F y G. Por otra parte hay armaduras que no son simples, aunque est�n constituidas por tri�ngulos, como la cercha Fink o la j�cena Baltimore representadas en la figura 16, ya que no pueden construirse a partir de un tri�ngulo de la manera descrita anteriormente. Todas las otras armaduras representadas en la figura 16 son armaduras simples como puede comprobarse f�cilmente (para la viga "K" hay que empezar por uno de los tri�ngulos centrales).

Volviendo a la armadura b�sica de la figura 17(a), vemos que tiene tres barras y tres nudos. La armadura de la figura 17(b) tiene dos barras m�s y un nudo m�s, es decir, en total cinco barras y cuatro nudos. Observando que cada vez que a�adimos dos nuevas barras se aumenta en una unidad el n�mero de nudos, resulta que en una armadura simple el n�mero total de barras es b=2n-3, siendo n el n�mero total de nudos.

Figura 17

5.3 � Armaduras Tridimensionales

Podemos construir la estructura tridimensional m�s sencilla conectando seis barras por sus extremos para obtener un tetraedro, como se muestra en la figura 18(a). Agregando barras podemos obtener estructuras m�s elaboradas (Fig. 18 (b)(c)). Las estructuras tridimensionales como estas se denominan "armaduras espaciales" si tienen juntas que no ejercen pares sobre las barras (es decir, son articulaciones en las tres direcciones, comport�ndose como soportes de bola y cuenca) y si est�n cargadas y soportadas s�lo en sus juntas o nudos.

Las armaduras espaciales se analizan con los mismos m�todos descritos para las armaduras bidimensionales; la �nica diferencia es que se requiere tratar con relaciones geom�tricas m�s complicadas.

Figura 18

Recordemos que la armadura bidimensional m�s elemental consist�a en tres barras unidas por sus extremos formando los lados de un tri�ngulo; a�adiendo cada vez dos barras a esta configuraci�n b�sica, y uni�ndolas en un nuevo nudo, era posible obtener una armadura m�s grande que se defin�a como armadura simple.

Igualmente, la armadura tridimensional m�s elemental est� formada por seis barras unidas por sus extremos formando las aristas de un tetraedro tal y como hemos visto (Fig. 18(a)). A�adiendo tres barras a esta configuraci�n b�sica, como AE, BE y CE, aplic�ndolas a nudos separados ya existentes y uni�ndolos en un nuevo nudo, podemos obtener una armadura espacial m�s grande que se define como armadura tridimensional "simple" (Fig. 18(b)). Observando que el tetraedro b�sico tiene seis barras y cuatro nudos, y que cada vez que se a�aden tres barras se aumenta en uno el n�mero de nudos, concluimos que en una armadura tridimensional simple el n�mero total de barras es b=3n-6, siendo n el n�mero total de nudos.

Si una armadura tridimensional tiene que estar completamente ligada y si las reacciones en los apoyos han de ser est�ticamente determinadas, los apoyos deben consistir en una combinaci�n de esferas, rodillos y r�tulas que proporcionen seis reacciones desconocidas (Fig. 19). Estas pueden determinarse f�cilmente resolviendo las seis ecuaciones que expresan que la armadura tridimensional como s�lido libre est� en equilibrio.

Aunque en la pr�ctica las barras de una armadura de este tipo se suelen mantener unidas por medio de conexiones soldadas se supone para su c�lculo que cada nudo est� constituido por una articulaci�n de r�tula. Por tanto, no se aplicar� ning�n par a las barras de la armadura y cada barra puede tratarse como un elemento sometido exclusivamente a dos fuerzas opuestas.

Las ecuaciones de equilibrio para cada nudo se expresan con las tres ecuaciones SFx=0, SFy=0, SFz=0. La formulaci�n de las ecuaciones de equilibrio en cada uno de� los n nudos proporcionar� 3n ecuaciones. Como b=3n-6, esta 3n ecuaciones bastan para determinar todas las fuerzas desconocidas (fuerzas en b barras y 6 reacciones en los apoyos) que son en total b+6 = 3n-6+6 = 3n, que es el n�mero de ecuaciones de que disponemos. Sin embargo, para evitar resolver un sistema de ecuaciones con muchas inc�gnitas, en su resoluci�n pr�ctica resolveremos nudo a nudo, teniendo cuidado en seleccionarlos en tal orden que ning�n nudo elegido contenga m�s de tres fuerzas desconocidas.

Figura 19

6 � P�rticos

Se considera un p�rtico a una estructura formada por vigas y pilares r�gidamente unidos entre s�, de modo que al sufrir deformaciones, no var�a el �ngulo que forman en sus uniones los elementos que concurren en ellas. Los p�rticos pueden ser articulados o empotrados, seg�n lo sean las bases de sus pilares.

A continuaci�n se representan algunos ejemplos de p�rticos sencillos:

�

�� (Articulado)�� (Empotrado)�� (Articulado)�� (Empotrado)

�� (Dintel horizontal)�� (Dintel a dos aguas(dos vigas))

El c�lculo de los p�rticos depende, adem�s de que sean articulados o empotrados en sus bases, de la rigidez o resistencia a la deformaci�n de sus elementos (vigas y pilares).

Se define la rigidez de un elemento por la f�rmula K = 4EI/L donde:

�� - E: M�dulo de elasticidad o de Young

- I: Momento de inercia

�� - L: Longitud del elemento

Si la viga fuese infinitamente r�gida no se deformar�a y por consiguiente sus uniones con los pilares no sufrir�an ning�n giro; trabajando como si estuviese apoyada en los pilares y estos estar�an sometidos a la compresi�n producida por la reacci�n a la carga, como se indica en el siguiente esquema.

Si la viga no es infinitamente r�gida pero s� lo son los pilares, estos no se deforman y aquella s�, pero de tal modo que sus uniones con los pilares no giran debido a la rigidez de �stos, por lo que la viga trabajar� como si estuviera empotrada en los pilares, y �stos, adem�s de la compresi�n producida por la reacci�n a la carga, deben resistir la flexi�n debida al momento de empotramiento de la viga, como se indica en el siguiente esquema.

En la realidad se presenta generalmente el caso intermedio entre los dos anteriores, en el que ni la viga ni los pilares pueden considerarse infinitamente r�gidos, por lo cual las uniones giran un poco, seg�n sea la relaci�n de las rigideces de los elementos que concurren en la uni�n; con lo que la viga trabajar� entre apoyada y empotrada, y los pilares con una flexi�n menor que en el caso anterior en que consider�bamos la viga como empotrada; como se indica en el siguiente esquema.

Si se calcula la viga como apoyada (m�xima flexi�n en la viga) y los pilares como si la viga estuviese empotrada (m�xima flexi�n en los pilares), las secciones necesarias en los elementos resultan excesivas. Para evitar esto el c�lculo se realiza a partir de la relaci�n de las rigideces de los elementos que concurren en una uni�n que se expresa mediante la rigidez relativa, ya que esta relaci�n es la que determina la transmisi�n del momento.

Si denominamos elemento 1 a los pilares y elemento 2 a la viga, la rigidez relativa ser�:

�� K2�� 4E2I2/L2�� I2.L1

K21 = ---- = ---------- = -------�� (E1=E2� �� mismo material)��

�� K1�� 4E1I1/L1�� I1.L2

En la pr�ctica, para p�rticos sencillos, las reacciones y los� momentos flectores se obtienen a partir de tablas existentes en prontuarios; en funci�n de:

- Tipo de p�rtico

- Tipo de cargas

- Longitud de los elementos

- Rigidez relativa

Para casos m�s complejos y en base a estos mismos datos, el c�lculo se realiza mediante m�todos iterativos (M�todo de Cros) o c�lculo matricial por ordenador.

Se incluye a continuaci�n, como ejemplo, algunas de las tablas que se pueden encontrar en un prontuario.

GUI�N�RESUMEN

1 � Introducci�n

Estructuras: Partes de una construcci�n compuestas por elementos rectil�neos unidos para soportar cargas.

Tipos de uniones: Articuladas o r�gidas para el c�lculo; aunque constructivamente pueden ser soldadas, remachadas o atornilladas.

2 � Sistemas Articulados

Conjunto de barras con nudos articulados. Aunque forman un entramado espacial, este est� compuesto por estructuras articuladas planas o bidimensionales, que solo est�n cargadas en los nudos y sus barras trabajan solo a tracci�n o compresi�n. Se denominan:

- r�gidas: no se mueven, no son mecanismos

- simples: formadas por adici�n de dos barras y un nudo

- triangulares: formadas solo por tri�ngulos

3 � Sistemas Isost�ticos e Hiperest�ticos

En una estructura plana se cumple que si b(barras) = 2n(nudos) + 3 es isost�tica, es decir es r�gida y se puede resolver utilizando las ecuaciones de la est�tica, siendo el sistema a resolver:

- Ecuaciones: 2n (SFh = 0 y SFv = 0 para cada nudo)

- Inc�gnitas: b(esfuerzos en barras) + 3(reacciones apoyos(r))

Clasificaci�n general:

�� - Exteriormente:�� r < 3 : Inestable

�� r = 3 : Is�st�tico

�� r > 3 : Hiperest�tico

�� - Interiormente:�� b < 2n � 3 : Inestable

�� b = 2n � 3 : Is�st�tico

�� b > 2n � 3 : Hiperest�tico

4 � An�lisis de� estructuras articuladas� Isost�ticas

4.1 � Generalidades

Para su an�lisis se establecen las ecuaciones de equilibrio para:

- La estructura completa como s�lido libre, para calcular las reacciones

- Cada nudo, considerando: cargas, reacciones y fuerzas de sus barras

4.2 � M�todo de los nudos

M�todo num�rico que consiste en plantear el equilibrio de fuerzas en cada nudo. Las fuerzas de las barras sobre los nudos son iguales y opuestas a las de los nudos sobre las barras. Se empieza calculando las reacciones y luego estableciendo el equilibrio nudo a nudo buscando siempre un nudo con solo dos fuerzas de barra desconocidas.

4.3 � Procedimiento de Cremona

Aplicaci�n gr�fica del m�todo de los nudos. Tanto el pol�gono de fuerzas de la estructura completa como el de cada nudo son cerrados. Estos pol�gonos tienen entre si un lado com�n, por lo que se dibujan conjuntamente formando el pol�gono de Cremona, en el que, como se conocen las direcciones de las barras, se determinan gr�ficamente los sentidos y las intensidades de sus fuerzas (midiendo y seg�n la escala utilizada).

4.4 � M�todo de las secciones o de Ritter.

M�todo num�rico consistente en cortar la estructura en dos partes por una secci�n que solo intersecte tres barras, quitar una parte y plantear el equilibrio de la otra en forma de tres ecuaciones de momentos, teniendo en cuenta las fuerzas de las tres barras cortadas. Las ecuaciones de momentos se toman en los puntos de intersecci�n� de las barras cortadas, dos a dos. Si dos de las barras son paralelas se reemplaza su ecuaci�n de momentos por una de proyecci�n de fuerzas sobre la vertical.

Es el m�todo m�s efectivo para calcular solo algunas barras, pero requiere que la secci�n elegida corte tres barras �nicamente.

4 � Armaduras

5.1 � Generalidades

Estructuras formadas por barras conectadas mediante nudos articulados. Hay dos grupos de armaduras t�picas:

- Cerchas: Pratt, Howe, Fink, etc

- J�cenas: Pratt, Howe, Warren, Baltimore, Viga"K", etc

5.2 � Armaduras simples

Son aquellas que se pueden construir a partir de la armadura b�sica, consistente en un tri�ngulo, a�adiendo dos barras y un nuevo nudo. Las armaduras simples no est�n necesariamente formadas por tri�ngulos, y las armaduras formadas por tri�ngulos no son necesariamente simples.

5.3 � Armaduras tridimensionales

La m�s sencilla est� formada por barras que son las aristas de un tetraedro y nudos articulados en las tres direcciones que son sus v�rtices. Por el m�todo de a�adir tres barras y un nudo se puede obtener otra m�s grande que se define como "simple". Es isot�tica cuando se cumple: R = 6 y b= 3n-6; disponi�ndose de 3 ecuaciones de equilibrio por nudo: SFx=0, SFy=0, SFz=0. Estas armaduras tambi�n se denominan "espaciales".

6 � P�rticos

Estructuras formadas por vigas y pilares r�gidamente unidos, no pudiendo variar el �ngulo que forman en sus uniones. En la base de los pilares pueden ser articulados o empotrados.

Su c�lculo se basa en la rigidez de cada uno de sus elementos (K = 4EI/L) en relaci�n con el que est� conectado, llamada rigidez relativa: K21 = K2/K1 = I2.L1/I1.L2

Bibliograf�a:

R. Arg�elles Alvarez: La estructura met�lica hoy: teor�a y pr�ctica.

Volumen 1�. Librer�a T�cnica Bellisco.