�ndice general

1. Introducci�n.

2. Sistema c�nico.

2.1. Fundamentos.

3. Perspectiva c�nica.

3.1. Perspectiva c�nica.

3.2. Elementos de la perspectiva.

3.2.1. El cuadro.

3.2.2. El objeto.

3.2.3. Relaci�n entre los elementos.

3.3. Perspectiva geom�trica o lineal.

4. Perspectiva paralela, de frente o de un solo punto.

4.1. Sistema de cuadro de cristal.

4.2. Perspectiva paralela de un paralelep�pedo.

4.3. Perspectivas paralelas de una superficie plana de forma cuadrada.

4.4. Escalas de los dibujos.

4.5. Elecci�n del punto de vista.

4.6. Perspectivas paralelas de diferentes cuerpos.

- Pir�mide truncada de base cuadrangular.

- Prisma de base ortogonal.

- Cilindro y cilindro de secci�n oblicua.

- Cono y cono truncado.

5.� Perspectiva oblicua angular o de dos puntos.

1. INTRODUCCI�N.

Con esta peque�a introducci�n, vamos a introducir un poco la historia� e inicios de la representaci�n en perspectiva c�nica frontal y oblicua.

Los principios de esta t�cnica hay que remontarse al Renacimiento en Europa. Esta t�cnica� fue introducida por los pintores italianos, los cuales� en su af�n de encontrar nuevas formas de expresar la realidad, empezaron ha desarrollar esta t�cnica, pero no fue hasta la revoluci�n industrial de principios de siglo hasta que esta nueva modalidad de dibujo fue desarrollada plenamente, debido a la necesidad de tener una idea de que fabricar antes de fabricarlo, cosa que en nuestros d�as es� fundamental.

Esta nueva modalidad de dibujo se une a las ya conocidas y permite una visi�n tridimensional del objeto bastante completa. Ayuda fundamentalmente a la r�pida visualizaci�n de piezas complicadas, junto a la compresi�n de sus partes mas destacadas.

Existen varios tipos de perspectivas, seg�n sea el sistema de representaci�n, que nombramos a continuaci�n:

� Perspectiva axonom�trica.

� Perspectiva caballera.

� Perspectiva lineal o c�nica.

La diferencia mas apreciable entre estas tres t�cnicas de dibujo es que, las dos primeras presentan una visi�n aproximada del objeto, mientras que la� tercera nos ofrece una imagen mucho mas pr�xima a la realidad y de aspecto mucho mas exacto.

2. �SISTEMA C�NICO.

2.1. Fundamentos.

Todos los sistemas de representaci�n pretenden representar sobre un plano cualquier punto del espacio. En general, eso se consigue determinando la proyecci�n del punto a representar sobre el plano en que se desea realizar la representaci�n.

�Dentro del sistema c�nico, los elementos mas representativos de este son los que se detallan en la (Fig. 1)

A continuaci�n se van a explicar cada una de las partes de la figura anterior:

► Punto de vista. Es el punto donde el observador se encuentra y queda definido en el dibujo con una� V.

► Plano del cuadro. Tambi�n llamado plano de proyecci�n, que es el plano donde se quiere representar el objeto y en el dibujo se define por p.

► Plano de horizonte. Es el plano perpendicular al plano de proyecci�n y que adem�s contiene al punto de vista, generalmente este plano es horizontal y en el dibujo esta indicado por la letra a.

► L�nea de horizonte. Es la recta LH, obtenida como la intersecci�n del plano de horizonte a con el plano del cuadro p.

► Plano geometral. Es el plano G paralelo al de horizonte, sobre el que se considera apoyado el objeto que queremos representar.

► L�nea de tierra. Es la recta LT, resulta de la intersecci�n del plano geometral con el plano de proyecci�n o de cuadro.

► Punto principal. Es el punto P, que es el resultado de la proyecci�n ortogonal del punto de vista V sobre el plano del cuadro o de proyecci�n. Adem�s este punto se encuentra sobre la l�nea de horizonte LH.

► Puntos de distancia. Los puntos de distancia D ( Fig. 1 y 2 ), son dos puntos que est�n situados sobre la prolongaci�n de la l�nea de horizonte. Se caracterizan porque la distancia al punto P, es la misma que la que existe entre el punto de vista V y el punto principal P. En definitiva se trata de dos puntos situados a ambos lados del punto principal P.

► Plano de desvanecimiento. Es el plano b, paralelo al plano del cuadro y que contiene al punto de vista V.

►
L�nea de desvanecimiento. Es la recta LD, que resulta de la intersecci�n del plano de desvanecimiento b con el plano geometral G.

De los elementos que se han detallado anteriormente y que constituyen la columna principal del sistema c�nico, en el plano de dibujo o plano de cuadro (Fig. 2), solo quedan representados los siguientes:

q La l�nea de horizonte LH.

q La l�nea de tierra LT.

q El punto principal P.

q Los puntos de distancia D. Estos puntos son solo necesarios, en el caso de que el punto de vista V se encuentre a una distancia d del cuadro, menor que la mitad de la anchura del papel en que quiere representarse el objeto.

3. PERPECTIVA C�NICA.

3.1. Perspectiva c�nica.

La perspectiva c�nica de un objeto, es la representaci�n de ese objeto sobre un plano, tal y como se le ve en la realidad desde un punto de vista determinado (Fig3).

El ojo de observador se denomina punto de vista y el plano sobre el que se representa el objeto se llama plano del cuadro o simplemente cuadro. En la siguiente figura, se puede ver la perspectiva de un objeto, en este caso una curva alabeada, en donde se puede ver, que los puntos a, b, c, d, e, f y g de esta curva tiene sus correspondientes puntos sobre el plano del cuadro representados por A, B, C, D, E, F y G, como se puede apreciar en la figura 4.

Para tener una idea de c�mo se ha obtenido, hay que imaginarse que el plano del cuadro es un cristal, y que mirando desde el punto V y a trav�s de �l, se observa la figura original; despu�s se van marcando sobre el cristal los distintos puntos A, B, C, etc. Estos puntos son las intersecciones con el cristal de los��������������������������

rayos visuales dirigidos hacia los puntos a, b, c, etc., del objeto.

Si se unen las citadas intersecciones entre s� por medio de los rayos visuales que concurren en V, se obtiene la perspectiva c�nica de la figura pedida.

Cada uno de los puntos A, B, C, etc., del cuadro, son proyecci�n de los correspondientes a, b, c, etc., del objeto, por lo que se puede decir que: la perspectiva de un punto a situado en el espacio, desde el punto de vista V, es la intersecci�n A del rayo proyectante Va con el plano del cuadro.

De acuerdo con lo expuesto, se puede definir la perspectiva de los diferentes puntos de una figura dada, como las intersecciones con el plano del cuadro de los rayos visuales o rayos proyectantes que unen el punto de vista V con cada uno de los puntos del objeto dado. La uni�n de los puntos proyectados determina la figura en perspectiva c�nica.

En la figura 5, la perspectiva formada por la uni�n entre s� de los puntos A, B y C corresponde con el tri�ngulo abc, situado en el espacio. La figura ABC es la producida por la intersecci�n de la superficie piramidal de base triangular, determinada por los rayos proyectantes Va, Vb y Vc con el plano del cuadro.

Se puede definir tambi�n la perspectiva c�nica en base a lo que

�ya se conoce del sistema c�nico. As� se puede decir que: la

perspectiva c�nica es la proyecci�n

c�nica directa de la figura dada, en la que el punto de vista coincide con el centro de proyecci�n.

En raz�n a lo dicho en el p�rrafo anterior, se sigue empleando los mismos t�rminos que se emplean en el sistema c�nico: plano de cuadro, punto principal, l�nea de horizonte, etc. Se puede observar que, por razones de claridad, se ha cambiado las denominaciones del plano del cuadro p por PC.

3.2. Elementos de la perspectiva.

Los elementos fundamentales de la perspectiva son tres: el cuadro, el objeto y el punto de vista. Todos ellos van �ntimamente relacionados entre s�, como se puede ver a continuaci�n

3.2.1. El cuadro.

En el dibujo de perspectivas c�nicas se considera que el cuadro del plano se encuentra siempre vertical.

3.2.2. El objeto.

El objeto a representar puede ser cualquiera. Este viene dado generalmente por sus proyecciones en el sistema di�drico; es decir, la planta y el alzado. En algunas ocasiones tambi�n se le puede encontrar en proyecciones del sistema acotado; esencialmente esto ocurre cuando se abordan temas topogr�ficos. Como consecuencia de lo dicho,� el problema de hallar la perspectiva� se reduce a pasar del sistema di�drico o acotado al sistema c�nico.

3.2.3. Relaci�n entre los elementos.

Tan importante como los elementos que constituyen la perspectiva, son las relaciones que los ligan. Esto se hace con el fin de obtener una representaci�n grata y fiel del objeto. Las relaciones m�s importantes son las que a continuaci�n se detallan:

a) El objeto puede estar colocado, indistintamente, delante o detr�s del cuadro. Es m�s frecuente que el objeto est� detr�s del cuadro, como sucede en las figuras 4 y 5; pero no es perceptivo.

b) Si el objeto viene dado por sus proyecciones di�dricas, la planta y el alzado, que resulta ser lo mas frecuente, en este caso el plano del cuadro suele hacerse coincidir con el plano vertical de proyecci�n o con un plano paralelo a �l. Algunas veces, por conveniencia, se sit�a el plano del cuadro en forma arbitraria, pero siempre perpendicular al plano horizontal de proyecci�n.

c) La elecci�n del punto de vista es un aspecto muy importante, que depende de las circunstancias especiales de cada caso. Se brinda a la consideraci�n del lector los siguientes criterios en relaci�n con este asunto:

1. Si se colocan el objeto y el punto de vista en una posici�n determinada (Fig. 6), la perspectiva resulta ampliada o reducida, seg�n que el cuadro se coloque detr�s o delante del objeto. Como norma general, las dimensiones de la perspectiva son tanto mayores cuando mas alejado se encuentre el punto de vista del cuadro.

2. En lo que se refiere a la situaci�n del punto de vista con��� respecto al objeto, no es� conveniente colocarlo excesivamente alejado de este, ya que, al resultar los rayos visuales muy pr�ximos unos de otros, la perspectiva quedar�a

muy� peque�a y con muy pocos detalles. Si, por el contrario, el punto de vista se coloca excesivamente pr�ximo al objeto, se puede producir una deformaci�n de la perspectiva, lo que puede hacer irreconocible el objeto.

3. Para obtener im�genes an�logas a la que nosotros vemos, el cuadro������� debe de estar entre el objeto y el punto de vista. Adem�s el cuadro debe estar entre dos conos de 32� y 66� (como se indica en la figura 7). En esta fig. se indican las distancias m�ximas y m�nimas y su relaci�n con el plano del cuadro, es decir para que las figuras no resulten con alteraciones a la forma que nosotros vemos la figura normalmente.

4. La posici�n del punto de vista���� depende, adem�s de las partes del objeto que se desea� que aparezcan vistas en la perspectiva. Por ejemplo si queremos que se vean las dos caras de un cubo, entonces deberemos poner el punto de vista frente a la arista com�n de estas dos caras para que las dos caras se vean.

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3.3. Perspectiva geom�trica o lineal.

�������� Es aquella en la que se representa sobre un plano vertical la forma y las principales l�neas de los objetos a representar, obteniendo un dibujo bastante semejante del objeto inicial.

�������� La perspectiva geom�trica o lineal se puede dividir en:

a) Perspectiva de frente o de un punto de fuga.

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�En esta perspectiva, el objeto tiene que ser de caras paralelas. Adem�s debe estar colocado de forma que unas de las caras sea paralela� al plano de cuadro y su base este apoyado en �l o paralelo a este. Con mayor particularidad����� se puede ver en la fig.8.

b) Perspectiva oblicua angular o de dos puntos.��

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El objeto esta apoyado sobre su base en el plano horizontal, pero el resto de las caras es paralela al cuadro. En la fig.9 se puede ver este caso, adem�s se puede ver dos puntos de fuga. Las rectas verticales mantienen la verticalidad en esta perspectiva.

c) Perspectiva oblicua o de tres puntos.

En este tipo nuevo de perspectiva, el objeto tiene todas sus caras y aristas oblicuas al plano del cuadro y al plano geometral (Fig.10).Este tipo de perspectiva apenas se utiliza por lo que no se desarrolla.

4. PERPECTIVA PARALELA, DE FRENTE O DE UN SOLO PUNTO.

En esta perspectiva, las l�neas verticales siguen siendo verticales y las l�neas paralelas al plano de cuadro o l�nea de tierra mantienen tambi�n la horizontalidad, las �nicas l�neas que no se mantienen, tienden a converger, son las l�neas de profundidad, ya que fugan a un solo punto. Esta clase de perspectiva se utiliza cuando queremos ver al objeto de frente. En esta perspectiva hay una serie de m�todos que se detallan a continuaci�n.

4.1. Sistema del cuadro de cristal.

Este m�todo fue aplicado por Leonardo de Vinci para la comprobar las leyes que regulan la perspectiva. El punto V es donde se supone que est�n los ojos del observador y a una altura aproxx de 1.65 metros. El plano donde se quiere ver representado el objeto esta situado entre el observador y el
objeto.

Como se ve en la fig. 11, queremos dibujar la perspectiva del cuadro ABLT, para conseguir esta perspectiva se unen los puntos A y B con el punto de vista V, cortando estas uniones al plano del cuadro� y dando A� y B�. Por otro lado, si unimos la prolongaci�n del punto de vista V sobre el plano del cuadro P con los puntos L y T, los puntos A� y B� quedan perfectamente definidos. Para obtener definitivamente el cuadro sobre el plano del cuadro, habr� que unir los puntos A�B�LT.

Por otro lado, si unimos los puntos TB� y LA� y prolongamos estos hasta la l�nea de horizonte LH, nos dan otros dos nuevos puntos D₁ y D₂, los cuales se utilizan para descubrir la profundidad del cuadro. Estos puntos se colocan a ambos lados de P a una distancia de dos o tres veces la distancia existente entre la l�nea de tierra y la l�nea de horizonte. Estos dos nuevos puntos son auxiliares para determinar la profundidad del objeto y adem�s no deben confundirse con la oblicua de dos puntos. En la representaci�n de frente se debe tener especial cuidado en la separaci�n entre v y el plano del cuadro y este siempre debe tener una proporci�n como la que sigue:��� PD₁=PD₂=VP.

4.2. Perspectiva paralela de un paralelep�pedo.

En la fig. 13 se puede ver como es esta perspectiva y en la siguiente fig. se aprecia su realizaci�n que se explica a continuaci�n:

1�) Se traza la LT.

2�) Sobre la LT se dibuja el paralelep�pedo en verdadera magnitud.

3�) Se traza la l�nea de horizonte a la distancia elegida.

4�) Se unen los puntos A y B con P en la l�nea LH.

5�) A partir de P, se toma la distancia PD₂=2 veces la distancia PC, determinando el punto D₂.

6�) Se une D₂ con A para limitar la profundidad del paralelep�pedo.

7�) Por el punto f se traza una paralela a AB determinando el punto E, y con ello la perspectiva paralela buscada.

4.3. Perspectivas paralelas de una superficie plana de forma cuadrada.

El primer caso que se puede presentar, es que el cuadrado se encuentre apoyado sobre la LT. Se determina la l�nea LH y sobre esta se se�alan los puntos P y D₂.

En esta clase de perspectiva hay una serie de casos particulares que se detallan a continuaci�n:

- Cuando el punto D₂ esta fuera de los l�mites del papel, esta distancia se puede reducir a 1/2, 1/3, etc. para adecuarlo a la distancia de nuestro dibujo. Para que las distancias que se fugan a P no var�en, es necesario variar todas las distancias del dibujo en proporci�n a como se ha variado la distancia de D₂. Para mayor apreciaci�n de este caso particular se puede ver en la fig. 15 que el punto E no varia, a pesar de que variamos la distancia PD₂.

- Otro caso particular, ocurre cuando el cuadrado se encuentra distanciado de la l�nea de tierra. En este caso se resuelve prolongando los lados CA y EB hasta que corte la l�nea de tierra y desde estos puntos se fugan a P. Por otro lado se prolonga la diagonal EA hasta que tambi�n corte la LT y seguidamente se fuga a D₂ cortando esta a las que anteriormente hab�amos fugado a P, d�ndonos A� y E�. Por estos puntos hallados se pasan unas paralelas a la LT, determinando los cuatro v�rtices en perspectiva.

Para terminar con este apartado se exponen otros ejemplos caracter�sticos, cuyo proceso de realizaci�n se puede ver en el mismo dibujo.

4.4. Escalas de los dibujos.

Los dibujos se deben hacer a escala para que guarden proporci�n con la realidad. Estas escalas se dividen en:

… Escalas de frente.

… Escalas de altura.

… Escalas de profundidades.

- En la escala de frente se emplea para medir o situar sobre el terreno las l�neas paralelas a la LT con respecto al PC, cualquiera que sea su profundidad (Fig.19). Tambi�n se puede medir rectas verticales sin necesidad de emplear la escala de alturas.

- La escala de altura, se emplea para situar las alturas de las l�neas verticales, seg�n su posici�n con respecto al PC (Fig.20).

- Escala de profundidades, por la cual se puede medir las alturas situadas sobre las l�neas de fuga que concurren al infinito. (Fig.21).

4.5. Elecci�n del punto de vista.

���������� Una elecci�n del punto de vista es muy importante, ya que una elecci�n de este puede producir una deformaci�n del objeto. Si el punto V se coloca a un lado muy extremo del objeto, se obtiene el mismo efecto que cuando se observa la pantalla de un cine desde la posici�n pr�xima a ella y muy lateral; las alturas se ven normalmente, pero no as� las distancias horizontales. Por lo tanto, el punto P debe estar pr�ximo a la parte central del PC que interese ver.

4.6. Perspectivas paralelas de diferentes cuerpos.

Pir�mide truncada de base cuadrangular.

Para hallar esta perspectiva, primero se dibuja el cuadrado de la base de la pir�mide, para seguidamente hallar el punto medio ( O� ) de la

intersecci�n de las dos diagonales de este cuadrado ( D�B� y A�C� ). Una vez que se tiene este punto se traza una perpendicular a la base desde este punto, a continuaci�n desde O� se traza una l�nea que se fuga a P y se prolonga hasta que corte la l�nea de tierra, hallando el punto E, donde se pone la altura de la pir�mide en verdadera magnitud, que posteriormente se fugara a P con una l�nea la cual corta a la perpendicular que anteriormente hab�amos trazado por O�, d�ndonos el punto N, siendo la longitud O�N la altura de la pir�mide en perspectiva.

Si la pir�mide fuera truncada o la base estuviera separada de la LT, la finalizaci�n de estas se puede observar en las figuras de este apartado.

���������������������� Prisma de base ortogonal.

La realizaci�n de este prisma se puede apreciar f�cilmente en la figura siguiente:

Cilindro y cilindro de secci�n oblicua.

������������ �����������Cono y cono truncado

5. PERPECTIVA OBLICUA ANGULAR O DE DOS PUNTOS.

�������� Tambi�n llamada perspectiva de arquitecto������� , es el m�s empleado en la actualidad, dado que es sencillo de realizar y f�cil de comprender.

�������� La diferencia fundamental, es que el objeto se encuentra en una posici�n inclinada con respecto al PC.

�������� El sistema de proyecciones visuales consiste en una perspectiva en la que la preparaci�n auxiliar est� basada en las protecciones ortogonales; alzado , planta y secciones, con las dimensiones exactas de los objetos que se desean representar.

�������� Para realizar esta perspectiva, se coloca el PC entre V y el objeto en cuesti�n, como se puede ver en la fig. 29.

���������� Se trazan los rayos visuales desde V hasta los puntos del objeto. Al unir todos los puntos determinamos por los rayos visuales que cortan al PC, aparece la perspectiva tal y como la ve el observador. La LH se coloca a la altura de los ojos del observador y los focos F₁ y F₂ sobre esta misma l�nea.

�������� A continuaci�n podemos ver algunos ejemplos de realizaci�n de esta perspectiva, en los cuales se puede observar la facilidad de la realizaci�n.