ESQUEMA - �NDICE������������������������������������������������������������������������������������������� �������� P�g.

1. INTRODUCCI�N......................................................................................................... ���������� 2

2. SISTEMA DE EJES COORDENADOS ORTOGONALES....................................... 2

3. SISTEMA AXONOM�TRICO.................................................................................... 3

4. COEFICIENTES DE REDUCCI�N Y ESCALAS...................................................... 5

5. SISTEMA DE REPRESENTACI�N EN PERSPECTIVA ISOM�TRICA.............. 6

5.1. Determinaci�n del coeficiente de reducci�n......................................................... ���������� 7

5.2. Determinaci�n de la escala.................................................................................. 8

5.3. Representaci�n del punto.................................................................................... 9

5.3.1. Diversas posiciones del punto.............................................................. 10

5.4. Representaci�n de la recta.................................................................................. 12

5.4.1. Posiciones particulares de la recta........................................................ 13

5.5. Representaci�n del plano.................................................................................... 16

5.5.1. Posiciones particulares del plano.......................................................... 18

5.6. Representaci�n de figuras y s�lidos..................................................................... 20

6. SISTEMA DE REPRESENTACI�N EN PERSPECTIVA CABALLERA............... 22

6.1. Coeficientes de reducci�n y escalas..................................................................... 23

6.2. Representaci�n del punto.................................................................................... 25

6.3. Representaci�n de la recta.................................................................................. 26

6.4. Representaci�n del plano.................................................................................... 28

6.5. Representaci�n de figuras y s�lidos..................................................................... 29

7. RESUMEN..................................................................................................................... 31

8. BIBLIOGRAF�A............................................................................................................ 31

1. INTRODUCCI�N.

En el dibujo t�cnico, se requiere a menudo representar objetos tridimensionales con exactitud. La representaci�n de una cara de los mismos no ofrece suficientes detalles sobre la forma y medidas de las restantes caras, por ello se ha de recurrir a sistemas de representaci�n como el di�drico, el acotado, el axonom�trico o el c�nico.

Los sistemas de representaci�n de objetos tridimensionales, como el di�drico y acotado, a pesar de contar con grandes ventajas, ado�lecen del defecto de no permitir apreciar al primer golpe de vista, la forma, los contornos y cualquier otro detalle que nos interese del cuerpo o figura re�presentado.

Para salvar este inconveniente y conseguir ver intuitivamente las formas del cuerpo, se utilizan los sistemas de representaci�n en perspectiva, como son el axonom�trico y el c�nico.

En este tema, se van a estudiar dos sistemas de representaci�n derivados del sistema axonom�trico: el sistema en perspectiva isom�trica y el sistema en perspectiva caballera.

2. SISTEMA DE EJES COORDENADOS ORTOGONALES.

Se llama sistema de ejes coordenados ortogonales, al formado por tres rectas X, Y y Z, perpendiculares entre s� dos a dos ( Fig. 1 ), siendo cada una de ellas perpendicular al plano determinado por las otras dos.

Fig. 1

Las rectas se llaman ejes coordenados y los planos que determinan, planos coordenados, los cuales, al cortarse, dividen al espacio en ocho triedros rect�n�gulos, tales como el OXYZ..

Si un punto cualquiera A del espacio, lo proyectamos perpendicularmente sobre cada uno de los planos coordenados, obtendremos las proyecciones A1, A2 y A3. Cada dos de estas proyectantes como la AA2 y AA3 determinan un plano que corta al eje Z en un punto P, obteni�ndose an�logamente los puntos M y N sobre los ejes X e Y, respectivamente. Se ha formado de este modo un paralelep�pedo rect�ngulo, en el que tres de sus aristas coinciden con los ejes coordenados, siendo A el v�rtice opuesto al punto O, llamado origen de coordenadas.

Las longitudes OM = x, ON = y, y OP = z, reciben el nombre de coordenadas del punto A y son las que determinan la posici�n del punto en el espacio.

En efecto, conocidas las tres coordenadas x, y, z del punto, podemos determinar �ste construyendo el paralelep�pedo de aristas OM, ON y OP, iguales respectivamente, a las coordenadas dadas, cuyo v�rtice A nos dar� el punto que buscamos. Tambi�n puede construirse el rect�ngulo OMA1N de lados OM y ON, y por el v�rtice A1, trazar un segmento A1A, igual y paralelo a OP, siendo su extremo A el punto buscado.

Las proyecciones Al, A2 y A3 se denominan proyecci�n horizontal, vertical primera y vertical segunda, respectivamente.

3. SISTEMA AXONOM�TRICO.

El fundamento de la representaci�n del punto en el sistema axonom�trico consiste, en esencia, en referir el punto dado A ( Fig. 2 ), a un sistema de ejes coordenados rectangulares X, Y y Z, por medio de las proyecciones Al, A2 y A3 del punto sobre cada uno de los planos coordenados, y luego, proyectar perpendicularmente cada una de estas proyecciones, y el punto A, sobre un plano de proyecci�n p (plano del dibujo) sobre el que tambi�n se proyectan los tres ejes coordenados, en X�, Y� y Z�.

Dicho de otra forma, los tres ejes coordenados, junto con el punto o el objeto que contiene se proyectan perpendicularmente en la superficie plano p, que es la superficie del papel donde se va a representar dicho objeto ( Como si se dibujara en un papel la sombra de un objeto situado sobre el mismo, estando la luz justo sobre el objeto ).

Se obtiene as� la llamada proyecci�n o perspectiva axonom�trica ortogonal. Si la direcci�n de proyecci�n fuese oblicua respecto a p, estar�amos hablando de la proyecci�n o perspectiva axonom�trica oblicua.

Por facilidad, se emplea m�s la perspectiva axonom�trica ortogonal que la oblicua.

Fig. 2

Las principales caracter�sticas de este sistema son:

1�. No se utiliza m�s que un solo plano de proyecci�n p, que coincide con el plano del dibujo.

2�. Los ejes o l�neas de referencia llamados ejes axonom�tricos, son las proyecciones X�, Y�, Z� de los tres ejes coordenados X, Y, Z.

3�. Cada punto A del espacio tiene en el dibujo cuatro proyecciones. La A�, proyecci�n ortogonal de A sobre el plano del dibujo, se llama proyecci�n di�recta o natural o perspectiva de A, y las A�1, A�2 y A�3 (proyecci�n de proyecci�n), proyecciones axonom�tricas.

4�. Como las proyectantes AA1, AA2 y AA3 del punto sobre los planos de proyecci�n son respectivamente paralelas a los ejes Z, Y y X, sus proyecciones tambi�n lo ser�n, por tanto, si por las proyecciones A�1, A�2 y A�3, trazamos las paralelas A�1A�, A�2A� y A�3A� a Z�, Y� y X�, concurrir�n en A�, o lo que es lo mismo, las rectas que unen la proyecci�n directa A� del punto con cada una de las otras, son paralelas a cada uno de los ejes, siendo �sta la condici�n que caracteriza a las proyecciones de un punto.

Dentro de la proyecci�n ortogonal puede ocurrir: que los �ngulos a, b y g que cada uno de los ejes X, Y y Z forma respectivamente con el plano de pro�yecci�n sean diferentes entre s� ( Sistema axonom�trico anisom�trico o trim�trico ), que dos de los �ngulos sean iguales entre s� ( Sistema axonom�trico mono�dim�trico o dim�trico ), o que los tres �ngulos sean iguales entre s� ( Sistema axonom�trico isom�trico ). Normalmente, por sencillez, se usan sistemas axonom�tricos dim�tricos o isom�tricos.

La perspectiva caballera consiste en un sistema axonom�trico dim�trico, en el que dos de los ejes coordenados forman 0� con el plano de proyecci�n ( Uno de los planos est� apoyado en el plano de proyecci�n ) y el tercero forma 90� con el mismo, mientras que la perspectiva isom�trica consiste en un sistema axonom�trico isom�trico, en el que los tres ejes coordenados forman el mismo �ngulo respecto al plano de proyecci�n.

4. COEFICIENTES DE REDUCCI�N Y ESCALAS.

En la representaci�n axonom�trica, los objetos representados ofrecen unas cotas menores a las reales, ya que se tratan de la proyecci�n de las medidas reales, las cuales se encuentran situadas oblicuamente respecto al plano de proyecci�n. Por tanto, para representar un objeto en dicho sistema, hay que transformar las cotas reales mediante una escala de reducci�n, la cual tendr� que ser calculada para cada uno de los ejes, teniendo en cuenta su inclinaci�n respecto al plano de proyecci�n.

Si sobre el eje X tenemos un punto A ( Fig. 3 ), distante del origen O la longitud unidad OA = u, y lo proyectamos sobre p, en X�; la proyecci�n OA�= ux es la unidad correspondiente a X� y se llama escala axonom�trica de X.

La relaci�n ux/u entre am�bas unidades se llama coeficien�te de reducci�n del eje X, y se designa por cx. Esta relaci�n es la que existe entre la proyecci�n B�C� de un segmento y la longitud BC de �ste, en el espa�cio. Por tanto, cx = B�C�/BC.

Fig. 3

Como lo mismo suceder� para los otros dos ejes, podremos enunciar: Si sobre cada eje X, Y y Z se lleva una longitud unidad u, sus proyecciones ux, uy, y ux sobre p se denominan escalas axonom�tricas de los ejes. Los cocientes:

cx = ux/u, cy = uy/y y cz = uz/u

se llaman coeficientes de reducci�n de los ejes X, Y y Z respectivamente.

Los valores de estas relaciones dependen �nicamente de la magnitud del �ngulo que cada eje forma con p ( Por ser los cosenos de estos �ngulos ). Si los �ngulos son iguales, como ocurre en el sistema isom�trico, se verifica:

ux = uy = uz , luego:� ux/u = uy/y� = uz/u , o sea� cx = cy = cz

����������� Ejemplo: Representar el punto A, cuyas coordenadas son x = 3, y = 6 y z = 5 en un sistema isom�trico, conociendo la escala axonom�trica ux = uy = uz.

����������� Bastar�a con tomar sobre los ejes ( Fig. 4 ) las longitudes respectivas OM�= 3ux, ON�= 6uy y OP�= 5uz y trazar por los tres puntos obtenidos, l�neas paralelas a los otros ejes, obteniendo as� un paralelep�pedo cuyos v�rtices son las cuatro proyecciones del punto� A en el plano de proyecci�n: A�, A�1, A�2 y A�3.

��������������������������������������������������������� Fig. 4

5. SISTEMA DE REPRESENTACI�N EN PERSPECTIVA ISOM�TRICA.

����������� El sistema isom�trico es un sistema axonom�trico que se caracteriza porque los ejes axonom�tricos X�,Y� y Z� forman entre s� 120�.

����������� Para representar cualquier objeto en este sistema es necesario aplicar un coeficiente de reducci�n a las medidas del objeto en los tres ejes del dibujo, ya que los tres est�n colocados oblicuamente respecto al plano de proyecci�n, dicho coeficiente ser� el mismo en los tres ejes, por ser id�nticos los �ngulos entre los mismos.

����������� La utilidad de este sistema radica en el hecho de tener que calcular una sola escala para representar una medida en cualquiera de los tres ejes. Adem�s, como la escala de reducci�n de los tres ejes es la misma, el aspecto de la figura representada no se ver� distorsionado, consigui�ndose dibujos m�s realistas. Es por todo esto, uno de los sistemas de representaci�n m�s utilizados para dibujar figuras tridimensionales.

5.1. Determinaci�n del coeficiente de reducci�n.

����������� Cortando los tres ejes del sistema isom�trico por un plano a paralelo al plano de proyecci�n ( Fig..5 ), el tetraedro ABCO formado, es regular por tener los tres ejes la misma inclinaci�n respecto a a y ser iguales los �ngulos de las caras que concurren en O. La proyecci�n O� del v�rtice o es el centro del tri�ngulo equil�tero ABC y las proyecciones O�A, O�B y O�C de los ejes ser�n normales a cada lado del tri�ngulo.

Fig. 5

����������� Haciendo OA = OB = OC = a, en el tri�ngulo rect�ngulo AOB se verifica que:

, luego AB = AC = CB = a

�����������

En el tri�ngulo rect�ngulo CBD:

��������

y siendo O�C = 2/3 CD, sustituyendo el valor hallado de CD, se obtiene el siguiente valor:

luego el coeficiente de reducci�n buscado valdr�:

5.2. Determinaci�n de la escala.

����������� Una vez conocido el coeficiente de reducci�n, la escala axonom�trica se obtiene multiplicando el valor de la unidad real por 0,816, ya que:

ux/u = uy/y� = uz/u = 0,816, se deduce que ux = uy = uz = 0,816 u

����������� Es decir, para representar un objeto en el sistema de perspectiva isom�trica, habr� que multiplicar por 0,816 cada una de sus medidas antes de transportarlas sobre los ejes de coordenadas.

����������� La escala puede hallarse tambi�n gr�ficamente, abatiendo el tri�ngulo rec�t�ngulo COD de la Figura 5, en C(0)D.

Para ello, se traza un tri�ngulo equil�tero arbitrario A�B�C� ( Fig. 6 ) y su centro 0, siendo las rectas O A�, O B� y O C� las proyecciones X�, Y� y Z� de los ejes.

Fig. 6

Se traza luego la altura C�D�, la semicircunferencia de di�metro C�D� y la perpendicular al di�metro por O, cuya intersecci�n con la semicircunferencia nos da el abatimiento (O) del v�rtice.

El abatimiento C�(0)D� del tri�ngulo nos permite conocer la distancia 0(0) del v�rtice O al plano a, el abatimiento (z) del segmento OC y el �ngulo g que el eje Z forma con X. Llamando z� al segmento OC� ( Proyecci�n de OC ), podremos escribir:

lo cual nos permite hallar la escala uz mediante una cuarta proporcional a u, (z) y z�, utilizando el mismo �ngulo g del eje, ( Fig. 7 ), u otro cualquiera.

Fig. 7

����������� La misma construcci�n sirve para los otros dos ejes, puesto que los tres ejes forman el mismo �ngulo con el plano de proyecci�n.

5.3. Representaci�n del punto.

El sistema axonom�trico isom�trico se caracteriza porque los ejes axonom�tricos X�, Y�, Z� forman entre s� �ngu�los de 120� ( Fig. 8 ).

Para determinar un punto cualquiera del espacio, basta conocer dos de sus cuatro proyecciones, puesto que conoci�das dos de ellas, podemos hallar inme�diatamente las otras dos.

Fig. 8

En efecto, supongamos que nos dan las proyecciones A�3 y A�2 de un punto del espacio y queremos hallar las otras dos proyecciones. Trazando por la pro�yecci�n A�2, la paralela A�2A� al Y� y por A�3 la paralela al X�, ambas se cortar�n por A�3 y A�2, paralelas a Z�, que cortar�n a X� e Y�. Trazando luego por el punto de intersecci�n con X�, la paralela Y� y la paralela X�, como indican las flechas, la intersecci�n de estas paralelas nos dar� la proyecci�n A�1 buscada. Con ello, no se ha hecho m�s que construir las proyecciones del paralelep�pedo de referencia del punto A sobre os tres ejes coordenados.

Como ya se ha dicho, el plano XY es horizontal y, por tanto, llamaremos proyecci�n horizontal� a la que se proyecto sobre el mismo. Los planos XZ e YZ son los verticales o laterales, y las proyecciones sobre ellos, proyecciones �verticales o laterales.. En cuanto a las proyecciones axonom�tricas, A�1 es la proyecci�n horizontal y A�2 y A�3, las verticales y laterales. Estas �ltimas tambi�n se denominan vertical primera y vertical segunda, respectivamente.

5.3.1. Diversas posiciones del punto.

����������� Como los planos coordenados determinados por los ejes dividen el espacio en ocho regiones, el punto podr� estar situado en cualquiera de ellas. En la Figura 8, se han dibujado las proyecciones de un punto A, situado en el triedro OXYZ y en la Figura 9, varios puntos situados en cada una de las restantes regiones.

��� M�

Fig. 9

����������� Los puntos B, C y D est�n encima del plano horizontal y los puntos M, N, P y Q debajo. La posici�n de este �ltimo queda reflejada por medio del paralelep�pedo de referencia.

Si el punto est� situado en uno de los planos coordenados ( Fig. 10 ), en el horizontal, por ejemplo, su proyecci�n directa B� coincide con la horizontal B�1, siendo esta condici�n la que caracteriza la posici�n del punto. Las otras dos proyecciones, B�2 y B�3, est�n sobre los ejes X� e Y�, respectivamente.

Fig. 10

En la figura, los puntos A y B est�n situados en el plano horizontal; los C y D, en el primer vertical y los M y N, en el segundo vertical.

Si el punto est� situado sobre uno de los ejes, su proyecci�n directa coincide con dos de las otras, mientras que la tercera se confunde con O. As� sucede en la Figura 11 con los puntos A, B y C, situados sobre los ejes X�, Z� e Y�, respectivamente.

Fig. 11

Por ultimo, si el punto pertenece a dos ejes, coincide con el origen O de coordenadas y sus cuatro proyecciones esteran confundidas en O�, como puede verse con el punto D de la figura anterior.

5.4. Representaci�n de la recta.

Para determinar las proyecciones de una recta, basta unir las proyecciones hom�nimas de dos de sus puntos. As�, en la Figura 12, uniendo las proyeccio�nes de dos puntos M y N de una recta r, obtendremos las proyecciones r�1, r�2 y r�3 de la recta que determinan, cuya proyecci�n directa es r�.

Fig. 12

La recta, lo mismo que el punto, tiene cuatro proyecciones de las que s�lo son necesarias dos, para que quede determinada.

En este sistema, los puntos notables de la recta son sus trazas con los pla�nos coordenadas. Veamos c�mo se determinan �stas.

La traza con el plano horizontal, por ejemplo, es un punto que por pertenecer al plano, tendr� su proyecci�n directa y la horizontal confundidas y, por pertenecer a la recta, tendr� sus proyecciones sobre las hom�nimas de la recta, es decir, sobre r� y r�1, luego no puede ser otro que la intersecci�n de las proyecciones r� y r�1, que nos determinan la traza H�r buscada. An�logamente se deduce que la traza con el primer vertical es la intersecci�n V�, de r� y r�2, hall�ndose en seguida las otras proyecciones de estas trazas que estar�n, como ya sabemos, sobre los ejes.

Supongamos ahora que nos dan las proyecciones r�l y r�3 de la recta y que�remos determinar las otras dos proyecciones. Primeramente, prolongaremos una de las proyecciones, la r�1 por ejemplo, hasta que corte al eje Y� y trazando por este punto la paralela a Z�, su intersecci�n con r�3 es la traza W�r de la rec�ta, cuya proyecci�n W�2r, est� sobre Z�.

An�logamente, prolongando r�3 hasta su intersecci�n con el eje Y� y trazan�do por este punto la paralela al eje X�, cortar� a r�l en el punto H�r ( Traza horizontal ), determin�ndose en seguida la otra proyecci�n H�2, sobre X�.

Uniendo las proyecciones W�r y H�r y las W�2r y H�2r de las trazas halladas, obtenemos las otras proyecciones r� y r�2 de la recta.

Otro m�todo de hallar las otras proyecciones de la recta, es elegir dos pun�tos de ella y determinar las otras proyecciones de estos puntos por medio del paralelep�pedo de referencia, uniendo luego sus proyecciones hom�nimas.

En este sistema, se supone al observador situado dentro del triedro OXYZ, por lo que s�lo ser�n vistos los puntos situados en su interior, por tanto, para determinar las partes vistas y ocultas de una recta, tendremos que auxiliarnos de sus trazas puesto que precisamente las trazas vistas son las que nos limi�tan la parte vista de la recta. En la figura anterior, las trazas vistas W�, y H�r nos determinan la porci�n vista de la recta.

Para designar las trazas utilizaremos �nicamente sus proyecciones direc�tas H�r, V�r y W�r puesto que las otras est�n, como se ve en la figura, confundidas con ellas o sobre los ejes coordenados.

5.4.1. Posiciones particulares de la recta.

Recta situada en un plano coordenado.

Por estar sobre XZ ( Fig. 13 ), r� coincide con r�1 y r�2, y r�3 con X� y Z�, respectivamente.

Fig. 13

Si adem�s de estar situada en YZ, es paralela a Z, t� es paralela a Z� y t� se reduce a un punto.

Recta que corta a un eje.

Por cortar a Z ( Fig. 14 ), las proyecciones r�2 y r�3 concurren con r� en el punto de intersecci�n con el eje que, adem�s, coincide con las trazas V�r y W�r. La otra proyecci�n r�1 pasa por O.

Fig. 14

Recta que pasa por el origen.

Se ve en la figura anterior que todas las pro�yecciones de t concurren en O.

Recta paralela a un plano coordenado.

Si es paralela al horizontal ( Fig. 15 ) r� y r�1 son paralelas entre s�, puesto que su traza horizontal H�r est� en el infinito. Las otras proyecciones r�2 y r�3 son paralelas a X� e Y�.

Si es paralela a dos planos coordenados, como la t�‑t�l, lo es tambi�n a su intersecci�n Y, por lo que t�, t�1 y t�3 son paralelas a Y� y t�2 se reduce a un punto, confundido con la traza V�t.

Fig. 15

Recta perpendicular al plano de proyecci�n.

Tracemos por el origen O ( Fig. 16 )��� una recta r perpendicular al plano de proyecci�n p. Su proyecci�n directa, r� se reduce a un punto, confundido con O.

Fig. 16

El plano a determinado por r y Z es normal al XY, por serlo Z, y a p, por ser�lo r, luego su intersecci�n OA1 con XY es la proyecci�n horizontal r1 de la recta y la ta con p, coincide con las proyecciones r�1 y Z� de r1 y Z, respectivamente.

Resulta pues, que r�1 se confunde con Z� y por an�logo razonamiento, r�2 con Y� y r�3 con X� ( Fig. 17 ), siendo las prolongaciones de los ejes axonom�tricos, las proyecciones vistas de la recta.

Fig. 17

����������� �Si la rectas no pasa por el origen ( Fig. 18 ) su proyecci�n directa r� sigue siendo un punto en el que coinciden las trazas H�r, V�r y W�r y las proyecciones de r�1, r�2 y r�3 son respectivamente paralelas a Z�, Y� y X�.

Fig. 18

5.5. Representaci�n del plano.

El plano se representa por medio de sus trazas con los coordenados. As� como en el sistema di�drico, las dos trazas de un plano se cortaban en un punto de la l�nea de tierra, en este sistema, las tres trazas se cortan, dos a dos, en un punto de cada eje. Estas tres trazas, prolongadas si es necesario, forman un tri�ngulo ( Tri�ngulo de las trazas ) cuyos v�rtices se encuentran so�bre cada uno de los ejes o sus prolongaciones.

En la Figura.19, se ha representado un plano a cuyas trazas se cortan como acabamos de indicar. As�, las h�a� y v�a se cortan en la prolongaci�n del eje X�, las v�a y w�a, sobre Z� y las h�a y w�a, sobre Y�. El tri�ngulo de las trazas est� formado por la traza w�a las prolongaciones de h�a y v�a.

Para que una recta est� situada en un plano, sus trazas deben estar situadas en las hom�nimas del plano o, a la inversa, para que un plano contenga a una recta, sus trazas deben pasar por las hom�nimas de la recta.

Esto nos sirve para hallar las trazas de un plano determinado por dos rectas r y t que se cortan en un punto I. Para ello, determinaremos dos trazas H�r, y V�r, de r y las hom�nimas, H�t y V�t de t y uni�ndolas, obtenemos las trazas h�a y v�a cuyas intersecciones con Y� y Z� nos determinan la otra traza w�a.

Las trazas del plano a� las representaremos por la letra del plano coordenado a que corresponda, en min�scula, a�adi�ndole la letra a como sub�ndice.

Las rectas del plano paralelas a los coordenados, son an�logas a las horizon�tales y frontales del sistema di�drico.

Fig. 19

En la Figura 20 se han representado dos de estas rectas.

Fig. 20

La horizontal r del plano es paralela al XY y, por tanto, a su traza h�a. De aqu�, que sus pro�yecciones r� y r�l sean paralelas a h�a mientras que r�2 y r�3 lo son a X� e Y� res�pectivamente. Por la misma raz�n, la paralela t a XZ tendr� t� y t�2 paralelas a v�a, t�1 y t�3 (No dibujadas), paralelas a X� y Z�.

5.5.1. Posiciones particulares del plano.

Plano que pasa por un eje.

Si pasa por el eje Y ( Fig. 21 ), sus trazas h�a� y w�a se confunden con Y� y la v�a� pasa por O�. Las rectas de este plano paralelas a XY o YZ son rectas de punta respecto al XZ, como la r�‑r�l.

Fig.21

Plano que pasa por el origen.

Sus trazas son concurrentes en O ( Fig. 22 ).

Fig. 22

Para determinar la h�a por ejemplo, supuestas conocidas las otras dos, hasta trazar una recta, r,‑r�l del plano, paralela a XZ, y hallar su traza A�‑A�1 que unida con O� nos determina la h�a� buscada.

Plano paralelo a uno de los coordenados.

Si es paralelo al YZ, sus trazas ser�n paralelas a las de �ste, es decir, h�a� y v�a paralelas a Y� y Z�. La traza� w�a� no existe o est� en el infinito ( Fig. 23 ).

Fig. 23

Plano paralelo a un eje.

En la figura anterior, las trazas v�b� y w�b son para�lelas a Z�, por ser el plano b� paralelo a este eje.

La intersecci�n de este plano con el anterior es la recta i�‑i�1, paralela a Z.

Plano perpendicular al de proyecci�n.

Por ser proyectante, sus trazas se confunden en una sola recta ( Fig. 24 ).

Fig. 24

Plano paralelo al de proyecci�n.

Como ya se ha dicho, el tri�ngulo de las trazas es equil�tero. Su centro coincide con O y cada uno de sus lados es normal a un eje ( Fig. 25 ).

Fig. 25

5.6. Representaci�n de figuras y s�lidos.

����������� Para representar cualquier figura ( Fig. 26 ) bastar� con representar los planos de los que est� compuesta, gui�ndonos por mediciones de puntos y l�neas, tras haber aplicando la escala de reducci�n correspondiente a cada una de ellas.

Fig. 26

����������� De igual forma, para representar cualquier s�lido ( Fig. 27 ), bastar� con representar las superficies de las que est� compuesto teniendo tambi�n en cuenta la escala de reducci�n.

����������� Merece especial atenci�n la representaci�n de c�rculos en el sistema de perspectiva isom�trica, ya que realmente �se ven� como elipses, como puede apreciarse en la figura 27. Lo m�s f�cil para representarlos es incluirlos en un cuadrado que nos d� la pista sobre la situaci�n de los ejes y las diagonales.

Fig. 27

6. SISTEMA DE REPRESENTACI�N EN PERSPECTIVA CABALLERA.

La perspectiva caballera es un caso particular de la axonom�trica oblicua en la que el plano XOZ ( Primer vertical ) del triedro coordenado se hace coincidir con el plano de proyecci�n o cuadro p ( Plano del dibujo ), y se coloca en posici�n vertical ( Fig. 28 ).

Fig. 28

����������� Los planos coordenados quedan as� en la posici�n que indican sus nombres. El XOY, horizontal y los otros dos, verticales. En cuanto a los ejes el Y es normal al cuadro y los X y Z, en direcci�n horizontal y vertical, respectivamente. El plano horizontal tambi�n suele llamarse "geometral".

����������� El conjunto se proyecta oblicuamente sobre el cuadro en cualquier direcci�n, lo cual explica la posici�n arbitraria de la proyecci�n Y� del eje Y. En la figura se han dibujado las proyecciones Y�1, Y�2, Y�3 e Y�4 ( Determinadas por las proyec�ciones M�a, M�b, etc., de un punto M del eje ) correspondientes a distintas direcciones de proyecci�n a, b, c y d.

Los ejes X y Z dividen el cuadro en cuatro regiones o cuadrantes, nume�rados de I a IV. La posici�n de Y� respecto a estos cuadrantes, aunque es arbitraria, determina las partes vistas y ocultas de la figura a representar, lo cual influye en su elecci�n de un modo decisivo.

En efecto, si imaginamos dibujados y opacos los tres planos coordenados, al proyectar el triedro en la direcci�n a, por ejemplo, el eje Y se proyectar� en Y�l. El observador, situado delante del cuadro, en V ( Punto del infinito de la semirrecto M�aM, por ser proyecci�n cil�ndrica ), se encuentra a la izquier�da del segundo vertical y debajo del horizontal y ver� ambos planos, como se indica en la Figura 29-b, siendo ocultas las proyecciones A�1 y A�3 del punto A del interior del triedro.

Fig. 29

En la misma figura se han dibujado las proyecciones del triedro correspon�diente a las direcciones Y�2,Y�3 e Y�4, de la figura anterior. Para que las tres proyecciones del punto resulten vistas para el observador, �ste debe situarse dentro del triedro ( Fig. 29-c ), o lo que es lo mismo, la proyecci�n Y� del eje debe estar en el tercer cuadrante, como as� supondremos en este cap�tulo.

6.1. Coeficientes de reducci�n y escalas.

Si en la Figura 28 suponemos OM igual a la unidad u y lo proyectamos en la direcci�n a, la proyecci�n OM�a = uy es la escala axonom�trica ey de Y o unidad correspondiente a Y�.

Se llama coeficiente de reducci�n del eje Y a la relaci�n entre la proyec�ci�n de un segmento del eje y su longitud real en el espacio, es decir:

Como X y Z est�n en verdadera magnitud, sus escalas y coeficientes de reducci�n son:

ex = ez = u� y �cx = cz = 1.

Al proyectar el punto M en direcciones a, b, c, ... que formen el mismo �ngulo con el cuadro, sus proyecciones M�a, M�b, M�c, ..., equidistar�n de O conserv�ndose constante la escala y el coeficiente de reducci�n:

cy = OM�a / OM = OM�b / OM = OM�c / OM, por ser OM�a = OM�b = OM�c

Vemos pues, que a un valor dado del coeficiente de reducci�n, corres�ponden infinitas direcciones de proyecci�n ( Generatrices de un cono de revo�luci�n de v�rtice M y eje OM ), o lo que es lo mismo, infinitas direcciones de Y� que pueden coincidir incluso con los ejes X o Z ( Direcciones n o m ).

Inversamente, si fijamos una posici�n Y�4 para Y�, podemos proyectar en infinitas direcciones d, r, ..., s, situadas en el plano determinado por Y e Y�4, correspondiendo a cada una diferentes escalas OM�d, OM�r, ... OM�s que pue�den variar desde cero ( Direcci�n paralela a Y ) hasta infinito ( Direcci�n s, paralela a Y�4 ), variando tambi�n entre ambos l�mites, el coeficiente de re�ducci�n.

Para que la perspectiva quede definida es necesario fijar la posici�n de Y� y su coeficiente de reducci�n. La primera determina el plano proyectante de Y, y la segunda, la inclinaci�n de la direcci�n de proyecci�n respecto al cuadro. Lo dicho se refiere al semieje positivo OY. Algunos autores, para evitar la indeterminaci�n producida por direcciones sim�tricas respecto a Y, tales como la b y d, representan la proyecci�n Y� terminada en una flecha, no siendo esto necesario si se dibujan los semiejes positivos con l�nea con�tinua y sus prolongaciones, de trazos.

La perspectiva caballera de una figura es su proyecci�n oblicua sobre un plano. Considerada como caso particular de la proyecci�n axonom�trica obli�cua, puede definirse como su proyecci�n natural o directa.

Esta perspectiva tambi�n se llama �libre� o �fant�stica� por no ser la perspectiva del cuerpo, tal y como la ve en la realidad el ojo del observador.

Como los ejes X y Z coinciden con sus proyecciones, representaremos �stas con las letras X y Z y la proyecci�n del eje Y, por Y�.

La posici�n de Y� viene dada por el �ngulo a ( Fig. 30 ) que forma con X.

Si a = 225� ( Prolongaci�n de la bisectriz de XOZ ), la perspectiva se llama �regular�. No es frecuente emplear �ngulos de 0�, 90�, 180� � 270� ni pr�ximos a �stos, por resultar la perspectiva bastante deformada.

Los m�s utilizados en la pr�ctica son los que forman 30�, 15� � 60� con los ejes, por ser los que pueden trazarse con escuadra y cartab�n.

Fig. 30

En cuanto al coeficiente de reducci�n que designaremos por R, se toma menor que la unidad. En caso contrario, las figuras aparecen alargadas en el sentido Y�, deformando la perspectiva. De aqu� los nombres de �usual� y �deforme� seg�n que R sea menor o mayor que la unidad. Los valores m�s corrien�tes son: R = 1/2, 2/3 y 3/4.

El coeficiente de reducci�n suele expresarse gr�ficamente, se�alando sobre Y� la longitud OA� = uy ( Fig. 30 ) y sobre la prolongaci�n de Z, el segmento O(A)I = u ( Abatimiento del segmento OA = u ). Si la unidad u se toma sobre la perpendicular O(A) a OY�, la recta (A)A� es el abatimiento de la direcci�n de proyecci�n, con lo que tambi�n se obtienen los �ngulos b y d que �sta forma con Y y con el cuadro, respectivamente.

En cuanto a las notaciones de las diversas proyecciones y trazas, son id�n�ticas a las de la perspectiva isom�trica.

6.2. Representaci�n del punto.

����������� Para representar un punto en perspectiva caballera, basta con llevar sobre los ejes X y Z las coordenadas directas de los mismos, y sobre el eje Y, la coordenada correspondiente despu�s de aplicarle el coeficiente de reducci�n.

En la Figura 31, el coeficiente de reducci�n est� expresado gr�ficamente por el segmento O(U) ( Segmento unidad u, abatido ) y por la escala OU�=uy de Y, habi�ndose tomado sobre X y Z las longitudes ON�=3u y OS�=1,5u y sobre Y�, OM�=4uy.

Trazando por N, S y M� paralelas a los ejes, se obtie�nen las cuatro proyecciones del punto por medio del paralelep�pedo de refe�rencia. El punto M� puede tambi�n obtenerse, tomando sobre la prolongaci�n del eje Z, la longitud O(M)=4u y trazando por (M) la paralela a (U)U�.

Fig. 31

6.3. Representaci�n de la recta.

Los procedimientos de representaci�n de recta y plano son en todo an�logos a los explicados en axonom�trica. No obstante, haremos una breve expo�sici�n de ellos.

En la Figura 32 se han dibujado las cuatro proyecciones de la recta. Sus tres trazas H�r V�r y W�r est�n determinadas por la intersecci�n de la pers�pectiva r� con cada una de sus proyecciones axonom�tricas. Todo punto A situado en r tiene sus proyecciones en las proyecciones hom�nimas de la recta. Inversamente, si r pasa por A, sus proyecciones pasan por las hom�nimas de A.

Fig. 32

La representaci�n de rectas en posiciones particulares, puede verse en la Figura 33. La recta a, corta al eje X, la b es paralela al plano YZ y la c, al eje X.

Fig. 33

Las rectas paralelas a la direcci�n de proyecci�n ( Fig. 34 ), son proyec�tantes, luego su perspectiva r� se reduce a un punto. Si la recta ha de pasar por el punto A�‑A�1, su perspectiva r� y la B� de cualquier otro punto de ella, coincide con A�. Si adem�s suponemos que el punto B es su traza vertical segunda, sus proyecciones B�1 y B�2 ser�n las intersecciones de Y� y Z con las l�neas de referencia A�A�1, y A�A�2, lo cual indica que las proyecciones A�1B�1 y A�2B�2 de la recta son paralelas a Z e Y� y A�3B�3, a X, siendo �sta la propiedad que caracteriza a las rectas proyectantes.

Fig. 34

Si dos rectas r y s se cortan, las proyecciones A�‑A�1 del punto de inter�secci�n ( Fig. 35 ) se encuentran sobre las intersecciones de las proyecciones hom�nimas respectivas de las rectas.

Fig. 35

6.4. Representaci�n del plano.

����������� El plano se representa por dos de sus trazas h�a� y w�a ( Fig. 35 ), las cuales se cortan dos a dos sobre cada uno de los ejes, determinando las trazas de un� tri�ngulo ( Tri�ngulo de las trazas ) con un v�rtice situado sobre cada eje.

Toda recta r�‑r�1 situada en un pla�no, tiene sus trazas en las trazas ho�m�nimas del plano. Inversamente, si un plano a contiene a una recta, sus trazas pasan por las hom�nimas de la recta.

Los planos paralelos a la direc�ci�n de proyecci�n son proyectantes y tienen sus trazas confundidas, como sucede con el plano a de la Figura 36. Se han dibujado las proyecciones de dos rectas contenidas en �l, la r�‑r�1, determinada por sus trazas V�r y W�r y la horizontal h�‑h�1 de traza V�h. Las tres trazas son puntos elegidos arbitrariamente sobre h�a . Por ser las rectas coplanarias, se cortan en un punto A�-A�1. Las perspectivas de todos los elementos contenidos en el plano, se proyectan sobre su traza h�a -v�a.

Fig. 36

6.5. Representaci�n de figuras y s�lidos.

Fig. 37

����������� Al igual que en la perspectiva isom�trica, para representar cualquier figura o s�lido en perspectiva caballera ( Fig. 37 ), basta con representar las l�neas, puntos y planos de los que esten compuestos, teniendo en cuenta el coeficiente de reducci�n que hay que aplicar a todas las medidas de l�neas paralelar al eje Y.

����������� En este sistema, las circunferencias representadas en el plano OXZ o paralelo a �l, se dibujan como circunferencias normales, sin embargo, las representadas en los planos OXY, OZY o paralelos a los mismos, se representar�n como elipses ( Fig. 38 ).

Fig. 38

7. RESUMEN.

����������� Para la representaci�n de figuras tridimensionales en un papel se recurren a varios sistemas como son el di�drico, el acotado y el axonom�trico.

Uno de los sistema m�s utilizados por su claridad y sencillez es el sistema axonom�trico, que consiste en introducir en el espacio un sistema de tres ejes de coordenadas perpendiculares entre s� ( Normalmente llamados X, Y y Z ).

Despu�s se introduce la figura a representar dentro de esos ejes, refiriendo su situaci�n respecto a los mismos.

Finalmente se proyectan los ejes y la figura en el plano del papel mediante unos �rayos�� que pueden ser perpendiculares� ( Sistemas axonom�tricos ortogonales ) u oblicuos ( Sistemas axonom�tricos oblicuos ) ��respecto al plano de proyecci�n.

Si los ejes de coordenadas no se encuentran situados perpendiculares o paralelos al plano de proyecci�n, las cotas referidas a dichos ejes difieren a las cotas reales. Habr� pues que aplicar una escala de reducci�n a dichas cotas antes de ser trasladadas a los ejes.

El sistema de representaci�n isom�trico es uno de los sistemas axonom�tricos ortogonal m�s usados: Los ejes est�n situados formando el mismo �ngulo respecto al plano de proyecci�n, por lo tanto, la escala de reducci�n es la misma el los tres (ux = uy = uz = 0,816 u ).

Desde el plano del papel, los tres ejes forman 120� entre s�, tomados de dos en dos.

Uno de los sistemas axonom�tricos oblicuos m�s usados es el sistema en perspectiva caballera: Dos de los ejes ( Normalmente X y Z ) son paralelos al plano de proyecci�n y el tercero es perpendicular al mismo.

Tan solo el eje perpendicular ( Normalmente el Y ) requiere un coeficiente de reducci�n en sus medidas. Este coeficiente depende del �ngulo con el que se proyecte dicho eje en el plano de proyecci�n ( Los m�s utilizados en la pr�ctica son los que forman 30�, 15� � 60� con los ejes, por ser los que pueden trazarse con escuadra y cartab�n. Los coeficientes de reducci�n m�s utilizados suelen ser R = 1/2, 2/3 y 3/4 ).

�����������

8. BIBLIOGRAF�A.

����������� Todo el tema est� basado en un solo libro, ya que creo que es el que mejor trata el tema desarrollado, con m�s profundidad y con un nivel acad�mico alto.

GEOMETR�A DESCRIPTIVA.

Fernando Izquierdo Asensi

Editorial DOSSAT S.A. - Madrid