Se llama "l�gica simb�lica" o "l�gica formal" a la l�gica moderna que, mediante el simbolismo l�gico, o mediante un lenguaje formal, se ocupa de la forma l�gica de los enunciados y sus relaciones, es decir, los razonamientos. La l�gica simb�lica recibe tambi�n el nombre de l�gica matem�tica. Con este nombre se denomina a la l�gica moderna, que se basa en el desarrollo de lenguaje simb�licos y lenguajes formales y un grado elevado de matematizaci�n. Sus or�genes se remontan a G. W. Leibniz, a quien se atribuye haber usado por primera vez la expresi�n "l�gica matem�tica", pero su formulaci�n propiamente inicial se debe a G. Boole y G. Frege.

La l�gica matem�tica o simb�lica no es sustancialmente diferente de la l�gica formal de Arist�teles. En efecto, �ste, para resaltar las relaciones y prescindir de los contenidos concretos, materiales, usaba variables. La l�gica matem�tica o formal pretende, sin embargo, llevar m�s adelante el m�todo simb�lico de Arist�teles. As�, no s�lo simboliza sujetos y predicados, sino tambi�n las c�pulas o conectivas. Adem�s, se dedica primordialmente a la l�gica proposicional, parte de la l�gica pr�cticamente ausente en los manuales de l�gica tradicionales.

Hemos dicho que la formulaci�n inicial de la l�gica matem�tica se debe fundamentalmente a Frege. La gran aportaci�n de Frege fue inventar un sistema de s�mbolos mediante el cual los l�gicos pudieron formular tanto los tipos de inferencia estudiados por la l�gica proposicional de Arist�teles como aquellos a los que los m�todos aristot�licos no pueden ser aplicados. El an�lisis aristot�lico ten�a su fundamento en la divisi�n de las proposiciones contenidas en la inferencia en sujeto y predicado. As�, una inferencia v�lida en el sistema aristot�lico podr�a ser esta:

Todos los manchegos son europeos (todo S es P)

Todos los europeos son fascistas (todo P es G)

Por tanto, todos los manchegos son fascistas (todo S es G)

Sin embargo, hay muchas inferencias v�lidas que no se adecuan a este esquema de razonamiento, y que no pueden ser analizadas en el sistema aristot�lico. Por ejemplo:

Si esta tarde hace sol, el R. Madrid ganar� la Champions League

Esta tarde har� Sol

Por tanto, el R. Madrid ganar� la Champions League

La validez de esta �ltima inferencia no depende de la constituci�n interna de las proposiciones contenidas en ella, sino que depende m�s bien de las relaciones entre las proposiciones tomando cada una de �stas como un todo. Por tanto, para analizar esta inferencia no debemos analizar la estructura de las proposiciones en ella contenidas, sino ver cuales son las relaciones entre estas proposiciones. Esto se consigue formalizando nuestra inferencia como:

Si p entonces q;

Y p.

Por tanto q.

El modo en que la proposici�n que se sustituye por "p" se divida, por ejemplo, en sujeto y predicado, o si se divide o no en absoluto, es irrelevante. En la l�gica simb�lica de Frege se da un lugar central a esta clase de inferencias, que son tratadas mediante el uso de dos clase de s�mbolos: una clase designa lasproposiciones (a trav�s de las "letras proposicionales": p, q, r, s, etc.), y la otra designa a las conectivas que unen dichas letras (si... entonces, etc.)

Si nuestra inferencia es v�lida en funci�n de las relaciones que mantienen entre s� las diversas proposiciones contenidas en ella, todas las inferencias cuyas proposiciones tengan entre s� las mismas relaciones que tienen las proposiciones de nuestro ejemplo ser�n, tambi�n, v�lidas. Se alude a esto diciendo que las inferencias que tengan esa forma sonnecesariamente v�lidas.

Frege desarroll� su c�lculo l�gico centr�ndose en las llamadas verdades l�gicas de este g�nero, y exponi�ndolas de forma parecida a la de un sistema aritm�tico. Frege muestra un n�mero peque�o de tales verdades comoaxiomas, esto es, como un principio intuitivo y evidente -y, por tanto, que no necesita ser demostrado y, adoptando la regla de inferencia "dado A", y "si A entonces B", inferir B", muestra c�mo se pueden derivar de ellas un n�mero ilimitado de otras verdades l�gicas.

Sin embargo, la aportaci�n m�s importante de Frege a la l�gica es su tratamiento de los tipos de inferencia que Arist�teles hab�a formalizado. Para ello introdujo un artificio matem�tico denominadofunci�n.

En �lgebra, la expresi�n "x² + 1" representa una funci�n de la variable "x". Es una funci�n de x porque su valor depende de aquello por lo que sustituyamos la variable x. El n�mero por el que sustituimos la variablex recibe el nombre de "argumento".

Frege tom� este artificio matem�tico y lo aplic� a las proposiciones. Por ejemplo, sea la proposici�n "S�crates es un fil�sofo griego". En lugar de hablar de "S�crates" como sujeto y de "es un fil�sofo griego" como predicado, podemos hablar de "x es un fil�sofo griego" como la funci�n a la que S�crates proporciona el argumento. En otros t�rminos, tratamos al predicado por analog�a con "x² + 1" y tratamos a "S�crates" por analog�a con el n�mero (por ejemplo, el 2), por que sustituimos a x.

En matem�ticas, el valor resultante de sustituir en una funci�n los argumentos de la misma (las variables) por valores y realizar los c�lculos aritm�ticos indicados en la funci�n. �Cu�l es, en l�gica, el valor de una funci�n? Frege dijo que el valor era o lo verdadero o lo falso. Si se suministra un argumento para "x es un fil�sofo griego", se obtiene una proposici�n que es verdadera o falsa, un "valor de verdad". As�, si la funci�n "x es un fil�sofo griego" tiene por argumento a "S�crates", es verdadera; si tiene por argumento a "el se�or Felipe Gonz�lez" es, obviamente, falsa.

1. CALCULO DE PROPOSICIONES

Uno de los rasgos que distinguen al hombre de sus antepasados antropoides es el uso del lenguaje. Y un rasgo t�pico del lenguaje humano es el uso de argumentos.

Un argumento es un segmento ling��stico de cierta complejidad en el cual, de la posici�n de trozos o subsegmentos iniciales, se sigue necesariamente la posici�n de un trozo o subsegmento final.

Las principales partes o unidades ling��sticas que integran un argumento son los enunciados. Unenunciado es un segmento ling��stico que tiene un sentido completo y que puede ser afirmado con verdad o falsedad. Los enunciados iniciales de un argumento reciben el nombre de premisas, y el enunciado final el deconclusi�n.

El empleo de argumentos tiene lugar tanto en la vida cotidiana como en el ejercicio de las tareas cient�ficas. La utilidad de este instrumento ling��stico es la siguiente: su empleo permite pasar, por la sola reflexi�n, de la aceptaci�n de unos enunciados a la aceptaci�n de otros. Con ello queda rebasado el �mbito del conocimiento inmediato y de alg�n modo ampliada nuestra informaci�n sobre el mundo.

La l�gica es la ciencia que se dedica al c�lculo de argumentos; es, como se afirma desde Arist�teles, la teor�a del razonamiento. El ideal del que parte es que, si partimos de premisas que son verdaderas, y utilizamos reglas adecuadas para pasar de unos argumentos a otros, la conclusi�n que extraigamos ser� indudablemente verdadera. Una forma m�s sencilla de expresar esto es decir quede la verdad siempre se sigue la verdad. No ocurre lo mismo con la falsedad; en efecto, si nosotros partimos de unas premisas falsas, puede ocurrir que, independientemente de que el paso de unos argumentos a otros lo hagamos de modo correcto o incorrecto, arribemos a conclusiones que pueden ser bien verdaderas, bien falsas. Una manera m�s corta de expresar esto es decir que de la falsedad se sigue cualquier cosa.

1.1 S�mbolos formales

Los s�mbolos de un lenguaje formal, realizado con vistas al c�lculo l�gico, se dividen enl�gicos y no l�gicos. Los primeros son las constantes l�gicas. Los segundos son las letras referentes a enunciados, a predicados, y a individuos, divididas estas en variables y constantes.

Nuestro lenguaje l�gico constar� de los siguientes s�mbolos formales:

1. S�mbolos l�gicos.

1. Juntores: �, �, �, �, �

2. S�mbolos no l�gicos.

2. Letras enunciativas: p, q, r, ..., p₁, q₁, r₁,...
3. Letras predicativas: P, Q, R, ..., P₁, Q₁, R₁,...
4. Letras individuales:

1. Variables: x, y, z, ...
2. Constantes: a, b, c, ...

5. Letras functoriales: f, g, h,...

3. S�mbolos auxiliares.

6. Par�ntesis: (,)

1.1.1 Negador

El s�mbolo "�" recibe el nombre de negador, y puede ser considerado como la traducci�n al lenguaje formal de la part�cula "no" del lenguaje ordinario. Al adosar el negador a una expresi�n enunciativa cualquiera, el resultado es la negaci�n de esta: si un enunciado es verdadero, su negaci�n es falsa; y si un enunciado es falso, su negaci�n es verdadera. Sus condiciones de verdad se pueden resumir en una tabla del siguiente modo:

1.1.2 Producto l�gico

El s�mbolo � recibe el nombre de conjuntor, y puede ser considerado como la versi�n formal de la part�cula del lenguaje ordinario "y".

La combinaci�n de dos expresiones mediante el conjuntor es la conjunci�n de ellas, y se lee "p y q". Una conjunci�n afirma la verdad de sus componentes. Es verdadera, pues, cuando sus dos componentes son verdaderos; cuando uno de ellos es falso, y por tanto, cuando los dos son falsos, la conjunci�n es falsa. Esto se representa, en una tabla, as�:

1.1.3 Suma l�gica

El s�mbolo � recibe el nombre de producto l�gico, y se le puede considerar como la traducci�n al lenguaje formal, aunque s�lo parcial e incompleta, de la part�cula del lenguaje ordinario "o". Su significado es el siguiente: la disyunci�n de dos proposiciones es verdadera cuando al menos una de esas dos proposiciones es verdadera; es falsa, en cambio, s�lo cuando ambas son falsas. Su tabla de verdad es la siguiente:

El significado del disyuntor coincide s�lo parcialmente con el significado de la part�cula "o" del lenguaje ordinario.

La part�cula "o" en el lenguaje ordinario tiene dos sentidos: a) uno de ellos, llamado exclusivo, seg�n el cual la disyunci�n establece que unos de sus miembros es verdadero y el otro falso, con lo que se excluye, por tanto, la posibilidad de una simult�nea verdad de ambos. b) Otras veces, "o" no excluye la verdad simult�nea de los miembros de una disyunci�n. Es decir, al combinar dos proposiciones mediante la referida part�cula, se indica que una al menos de esas dos proposiciones es verdadera, pero no se dice nada con respecto de la otra, con lo cual no se excluye la posibilidad de que esa otra sea tambi�n verdadera. Este segundo uso se denomina inclusivo. Es este uso el que se utiliza en l�gica.

1.1.4 Implicador

El s�mbolo � recibe el nombre de implicador, y puede ser considerado como una formalizaci�n, aunque s�lo parcial e incompleta, de la part�cula del lenguaje ordinario "si..., entonces...". La expresi�n que precede al implicador se denomina antecedente, y la que le sucede, consecuente. Su sentido es el siguiente: una implicaci�n es verdadera siempre que no se d� el caso de que el antecedente es verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando ese sea el caso. Su tabla de verdad es la siguiente:

Un condicional es una afirmaci�n tal que eso y eso -el consecuente- est� condicionado a esto y esto -el antecedente- o, dicho de un modo m�s com�n,

eso y eso, si esto y esto

si esto y esto, eso y eso

si esto y esto entonces eso y eso

eso y eso, dado que esto y esto

Etc.

Por ejemplo:

El suelo est� mojado si llueve.

Si llueve, el suelo est� mojado.

Si llueve entonces el suelo est� mojado.

El suelo est� mojado, dado que llueve.

Es importante reconocer de un modo correcto la diferencia radical entre la afirmaci�n condicional misma y la afirmaci�n aislada del consecuente, la diferencia en nuestro ejemplo entre decir que el suelo est� mojado si llueve y afirmar directamente que el suelo est� mojado. Es f�cil confundir estas dos afirmaciones, pero no reconocer la diferencia entre ellas es un error que puede conducirnos a un mal razonamiento.

La diferencia entre el antecedente de un condicional y su consecuente es tambi�n importante. Es cuesti�n de orden l�gico - no es, como en las anteriores oraciones, una cuesti�n de orden ling��stico. La palabra "si" (o cualquier de sus sin�nimos) introduce el antecedente, independientemente de que est� al principio o al final de la frase. El s�mbolo de la implicaci�n, '�', est� colocado entre el antecedente, que va a la izquierda, y el consecuente, que va a la derecha. Usando las abreviaturas 'r' para "est� lloviendo" y 'w' para "el suelo est� mojado", las cuatro oraciones anteriores se escriben simb�licamente como:

Lo importante en una afirmaci�n condicional es el uso que queramos darle. Si tenemos razones para creer que tal y tal (el antecedente, aqu� "est� lloviendo"), entonces tenemos razones para creer que cual y cual (el consecuente, aqu�: "el suelo est� mojado"); si suponemos que tal y tal, estamos autorizados a suponer que cual y cual. (T�ngase en cuenta que estas afirmaciones son condicionales.) Hemos justificado el paso de tal y tal a cual y cual, del antecedente al consecuente.

Esta es la forma de hablar de la calle. Aunque el condicional de que estamos hablando no diga:

tal y tal, condicional de cual y cual

o

si cual y cual entonces tal y tal (si el suelo est� mojado, est� lloviendo)

esto no justifica el razonamiento en la direcci�n contraria, de tal y tal a cual y cual. Tomadas juntas, el par de afirmaciones:

Si tal y tal entonces cual y cual. (Si llueve el suelo est� mojado)

Cual y cual. (El suelo est� mojado)

no autoriza cualquier conclusi�n (distinta de la mera repetici�n de las afirmaciones ya hechas); no dice nada sobre si tal y tal (si est� lloviendo). Esta asimetr�a del condicional es algo que tendremos que tener presente a lo largo de nuestro trabajo.

1.1.5 Coimplicador

El s�mbolo � recibe el nombre de coimplicador, y puede ser considerado como una formalizaci�n de las part�culas "si y s�lo si", "cuando y solamente cuando" o "equivale". Su sentido es el siguiente: una coimplicaci�n es verdadera cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad; y falsa en caso contrario. Su tabla de verdad es la siguiente:

1.2 Reglas b�sicas del c�lculo de proposiciones

1.2.1 Reglas b�sicas de implicaci�n

1.2.1.1 Regla de eliminaci�n del implicador

MODUS PONENS: de una afirmaci�n condicional, tomada junto con su antecedente, se sigue su consecuente como una conclusi�n.

Por tanto,

p�q

q

-------------

q MP

donde p es cualquier afirmaci�n, verdadera o falsa, simple o compuesta; q, igualmente, es cualquier afirmaci�n, no necesariamente distinta de p; p � q es el condicional: si p entonces q; significa 'por tanto'; y la barra separa las premisas de la conclusi�n. La regla de Modus Ponens nos dice que, dada cualquier afirmaci�n condicional (por ejemplo, p � q) como una premisa y, como segunda premisa, el antecedente de tal condicional (p), es leg�timo extraer como conclusi�n el consecuente de tal condicional (i.e., q).

La regla Modus Ponens ha sido expuesta aqu� en castellano. La representaci�n simb�lica no es la regla o parte de ella; es un ejemplo, una ayuda que nos permite ver la estructura de la regla. La regla misma es dada por la representaci�n en lengua castellana que precede a los s�mbolos.

Usaremos s�mbolos de dos clases: s�mbolos l�gicos (llamados a veces "constantes l�gicas") para las diferentes conectivas, necesarios para eliminar la ambig�edad (la flecha en nuestro caso), y "variables", letras que abrevian sentencias, o frases nominales o frases predicativas. Cuando construyamos afirmaciones (condicionales, por ejemplo), esto es, afirmaciones extra�das de otras afirmaciones por medio de conectivas l�gicas, expresadas en s�mbolos", las afirmaciones resultantes ser�n denominadas "f�rmulas".

El uso de estos s�mbolos nos permite brevedad y claridad de pensamiento, ayud�ndonos a dejar a un lado los detalles irrelevantes y a centrarnos en la estructura del razonamiento.

El uso de la regla Modus Ponens no tiene restricciones; es leg�timo en cualquier caso, esto es, cualquier afirmaci�n en cualquier contexto puede ponerse en lugar de 'p' y 'q'. El uso correcto del Modus Ponens depende de la lectura correcta del condicional; 'p � q' no debe confundirse con 'q � p'. La segunda premisa en este esquema de argumento debe ser exactamente el antecedente del condicional que estamos usando, y la conclusi�n debe ser exactamente el consecuente de tal condicional.

Veamos un ejemplo. Supongamos que estamos convencidos que si Jorge est� en Madrid (h) Jorge est� en Barcelona (c). Sabemos que Jorge est� en Madrid, visitando a su hermana. Podemos concluir que Jorge est� en Barcelona. El argumento que hemos usado es algo parecido a esto:

h � c

h

-------

c

que es v�lido, de acuerdo con el principio de modus ponens.

Debe ser obvio, por otro lado, que es absurdo arg�ir del siguiente modo:

h � c

c

----------

h

Esto es, si estamos convencidos de que si Jorge est� en Madrid entonces est� en Barcelona y sabemos que Jorge est� en Barcelona, no tenemos razones para afirmar que Jorge est� en Madrid. El segundo "argumento" es una instancia de la falacia de la afirmaci�n del consecuente, que es la "falacia correspondiente" al modus ponens. (En el modus ponens afirmamos el antecedente como nuestra segunda premisa.) Hay ocasiones en que nos sentimos tentados a usar el segundo patr�n de argumentaci�n por el primero.

Otro aspecto sobre el significado del condicional. Tal y como usamos el condicional, 'p � q', o 'q, si p', o 'eso y eso, si esto y esto' no nos dice por qu� esto es as�, lo �nico que nos dice es que ocurre. En el "mundo real", cuando tenemos razones para creer un condicional, (ordinariamente al menos) tenemos razones para creer que hay una conexi�n de alguna clase entre el antecedente y el consecuente, como en los siguientes ejemplos:

Si Mar�a cruza la calle con el sem�foro en rojo, Mar�a est� en peligro (c � d)

Si Luis est� en la habituaci�n, Luis est� en la casa (k � h)

Alicia se mojar� si llueve (r � h)

etc.

No obstante, el condicional no informa sobre estas conexiones; el condicional omite -en su forma abstracta- las razones que nos llevan a �l. De este modo tenemos m�s seguridad en nuestro razonamiento. Podemos hacer diferentes consideraciones que aumenten nuestra confianza en que la conclusi�n se cumpla, pero esto no es necesario.

Al usar el modus ponens no estamos estableciendo una conexi�n causal entre el antecedente y el consecuente; dependemos solo del hecho (o suposici�n) de que, de un modo u otro, el consecuente viene dado por el antecedente. Y todo esto a pesar de que, tanto en filosof�a como en la vida social, las razones que fundamentan una afirmaci�n son m�s importantes o m�s interesantes que la afirmaci�n misma. En el razonamiento deductivamente ordenado, los condicionales con los que trabajamos est�n desprovistos de un significado causal, o propositivo, o cualquier otro, limit�ndose simplemente a extraer afirmaciones.

1.2.1.2 Regla de introducci�n del implicador

Veamos ahora la segunda regla para el condicional, la regla de la prueba condicional. Al usar esta regla no usamos condicionales; los establecemos. Los establecemos en el contexto del trabajo cient�fico, hist�rico, l�gico o de cualquier otra disciplina.

Prueba condicional: el proceso de derivar una conclusi�n v�lida, de un modo correcto, de una premisa o conjunto de premisas justifica la afirmaci�n del correspondiente condicional: si la(s) premisa(s), entonces la conclusi�n.

Esquem�ticamente,

donde p es una premisa y los puntos abrevian un conjunto de reglas de razonamiento.

Este patr�n de argumento puede tener lugar aisladamente, o en el contexto de un argumento m�s complicado, donde tambi�n intervienen otras premisas. Lo que resulta de una correcta derivaci�n de una conclusi�n (q) a partir de una premisa (p) es la conclusi�n resumen (p � q), esto es, la afirmaci�n condicional correspondiente a la derivaci�n.

El ejemplo anterior muestra que el �rbol vertical es una forma de abreviar una regla no especificada de razonamiento.

Adem�s, �qu� nos permite introducir la premisa (p)? Ante esta pregunta, podr�amos argumentar �qu� lo prohibe? Muchos sistemas, libros de textos, programas de ordenador, etc., usan algo denominado una "rule of premises" que nos dice que se puede introducir cualquier premisa, de cualquier clase, en cualquier parte de cualquier argumento. Esto es correcto, y es necesario afirmarlo expl�citamente y usarlo a veces. Pero no es una regla. Adem�s, podemos introducir, o suponer, cualesquiera premisas que deseemos; lo que es importante es que, una vez que las hemos introducido, estemos pendientes de ellas y veamos a d�nde nos conducen.

El razonador ordenado es libre de hacer cualquier suposici�n, o coger cualquier premisa, en cualquier punto de su trabajo. No es cuestionable el "derecho" a coger una premisa, cualquier premisa, por mor del argumento; lo que debemos preguntarnos es si merece la pena. Y merecer� la pena si pretendemos establecer un condicional mediante el principio de prueba condicional. (Esto tambi�n tiene sentido para la prueba indirecta, o reductio ad absurdum, y para su uso en un dilema). Si, sobre la suposici�n de que tal y tal, hemos logrado probar que cual y cual, hemos establecido que si tal y tal, entonces cual y cual. Si, sobre la base de un conjunto de premisas, o alguna suposici�n de que tal y tal, logramos probar que cual y cual, hemos mostrado que, sobre la base de estas premisas, que ordinariamente no incluyen tal y tal, si tal y tal entonces cual y cual.

En cualquier parte de un razonamiento sistem�tico, un cierto n�mero de premisas puede ser puesto en juego: tenemos ciertas premisas; estamos trabajando con ellas, intentamos descubrir ad�nde nos llevan. (Notacionalmente, debemos dejar claro qu� premisas est�n en juego en cada paso de nuestras deducciones, indicando a la izquierda de cada paso su n�mero, denotando cada premisa con una marca.) La regla de la prueba condicional es una regla de descarga de premisas.

Un trozo de razonamiento v�lido se mueve de la premisa p a la conclusi�n q; CP nos dice que este razonamiento garantiza la conclusi�n condicional p � q. En consecuencia, p no es necesario (como una premisa); hemos visto ad�nde conduce y hemos resumido la informaci�n en el condicional 'p � q'. La premisa p no es usada; es descargada. La conclusi�n sigue siendo v�lida sin ella.

Recapitulando, y marcando cada paso en los argumentos en los que la premisa p est� siendo usada:

No hay asterisco en la conclusi�n; la premisa p que fue introducida con la marca ha sido descargada.

1.2.2 Ley de identidad

REGLA DE IDENTIDAD: a lo largo de una deducci�n siempre es leg�timo repetir una premisa que se haya usado, o un paso en la prueba que ya se haya usado.

Este uso de un paso en una prueba -con independencia de que sea una premisa o un paso derivado de una premisa- est� legitimado si y s�lo si el paso en cuesti�n est� siendo usado (no ha sido descargado).

Usamos este principio para derivar lo que los griegos denominaron "ley de identidad" -una de sus tres "leyes del pensamiento": identidad, no-contradicci�n, y tercero excluido-: el teorema 'p � p'.

Un teorema en l�gica, como en geometr�a, es una afirmaci�n segura, vistos los hechos. Es v�lido en cualquier caso, y no hay ning�n conjunto de circunstancias en donde podamos ver que es falso. Su prueba no contiene premisas sin descargar. (Ocasionalmente, o�mos a los l�gicos decir que un teorema es una afirmaci�n "demostrable sin premisas" -pero esto es una elipsis de "demostrable sin premisas que no hayan sido descargadas". Es imposible encontrar una prueba sin un punto de partida para la misma).

La ausencia de asteriscos en la �ltima l�nea de esta derivaci�n marca a tal l�nea como un teorema: verdadero independientemente de cualquier premisa o suposici�n, establecido solamente sobre fundamentos l�gicos. Ejemplos de la ley de identidad son:

Si llueve, llueve

que es verdadera tanto si llueve como si no.

Si a Mar�a le gustan las zanahorias, a Mar�a le gustan las zanahorias

que tambi�n es verdadera en cualquier circunstancia. Etc.

El principal punto de inter�s de la ley de identidad no es su utilidad, sino, la restricci�n expl�cita de su uso. Un paso en una prueba debe repetirse si y s�lo si su premisa est� siendo usada. La violaci�n de esta restricci�n (la "falacia de la repetici�n il�cita") puede llevarnos a una horrible confusi�n. Supongamos, por ejemplo, que hemos a�adido una l�nea (paso 7 o paso 7') a nuestra derivaci�n:

�Esto es un sinsentido! La conclusi�n extra�da en los pasos 7 o 7' a partir de nuestras premisas (1 y 2) es equivalente a la que se sigue de 1, 2 y 3. Despu�s del paso 6, donde la premisa 3 es descargada y el asterisco asociado con la premisa 3 eliminado, los pasos 3, 4 y 5 ya no est�n disponibles, ni para volver a afirmarlos ni para ninguna otra cosa.

1.2.3 Reglas b�sicas de conjunci�n

1.2.3.1 Regla de introducci�n del conjuntor

PRODucto: de cualesquiera dos afirmaciones usadas en cualquier parte en una deducci�n, su conjunci�n se sigue como una conclusi�n.

Simb�licamente,

La primera advertencia que hay que hacer es que las afirmaciones unidas en una disyunci�n deben estar "disponibles" cuando son conjuntadas; esto es, si son premisas, deben estar siendo usadas, y, si no son premisas, sus premisas deben estar siendo usadas (v�ase m�s arriba la restricci�n de la regla IDENTIDAD).

En segundo lugar, la conjunci�n debe construirse correctamente. "O Mar�a y Luis est�n interesados en la m�sica o la soportan" no es la conjunci�n de "Mar�a est� interesada en la m�sica o la soporta" y "Luis est� interesado en la m�sica o la soporta", ni es la conjunci�n de "Mar�a est� interesada en la m�sica" y "Luis est� interesado en la m�sica o la soporta"; no es la conjunci�n de ninguna de ellas. Hay muchas sentencias que contienen "y" que no son conjunciones.

Una afirmaci�n est� disponible, para su repetici�n o para cualquier otro uso (en este caso, producto) si el paso en que va y el paso citado, o no son suposiciones, o la suposici�n no ha sido cerrada. La siguiente deducci�n es, seg�n esto, falaz:

1.2.3.2 Regla de eliminaci�n del conjuntor

SIMPlificaci�n: Un componente conyuntivo de una conjunci�n se sigue de la conjunci�n.

Si yo se que a Mar�a le gustan las zanahorias y que a Luis le gustan los guisantes, puede asegurar que a Luis le gustan los guisantes; del mismo modo, puedo asegurar que a Mar�a le gustan las zanahorias.

Simb�licamente,

Cualquier componente conyuntivo de una conjunci�n se sigue de la conjunci�n misma. Esto es, creo, intuitivamente claro. Pero el lenguaje se desarrolla secuencialmente, bien en el tiempo, o bien en una p�gina escrita (de izquierda a derecha, de arriba abajo, etc.) y esto no est� de acuerdo con la radical simetr�a (o direccionalidad) de la conectiva "y", que simbolizamos por '�'. Sabemos, por supuesto, que si pronuncio cualquiera de las siguientes frases

A Mar�a le gustan las zanahorias, y a Luis los guisantes.

Emilio es pobre, pero honesto.

La nieve es blanca, y la hierba verde.

no importa cu�l de las sentencias de cada uno de los pares menciono primero. Pero debo mencionar una primero; no puedo decirlas simult�neamente o escribirlas unas encima de otras y hacerme entender.

As�, nosotros entenderemos que la ley de simplificaci�n nos permite derivar de una conjunci�n cualquiera de sus componentes conyuntivos, independientemente del orden en que sean presentados, sobre la base de que el orden de presentaci�n no es importante.

Pero, se podr�a objetar, hay muchas sentencias en donde el orden de presentaci�n es importante. "Mar�a ve a Luis y sale de casa" parece que dice algo bastante distinto a "Mar�a sale de casa y ve a Luis". Ambas sentencias pueden, por supuesto, interpretarse a nuestra conveniencia, en vez de como una simple conjunci�n, y seguramente as� ser�an interpretadas si apareciesen en una novela. (Quiz�s Mar�a tiene miedo de Luis o, por otra parte, est� ansiosa de estar con �l; quiz�s Luis est� escondido detr�s del granero, etc.) Para nuestros prop�sitos, no obstante, tales diferencias no son importantes. La conectiva l�gica 'y', o '�', igual que '�', hace abstracci�n de las conexiones, causales o de otro tipo, entre las afirmaciones que une. De cualquiera de nuestras dos sentencias podemos derivas "Mar�a ve a Luis" por simplificaci�n; tambi�n, "Mar�a sale de la casa". Y cualquiera de ellas ser� verdadera si Mar�a hace ambas cosas, independientemente del orden, por cualesquiera razones.

1.2.4 Reglas b�sicas de disyunci�n

1.2.4.1 Regla de introducci�n del disyuntor

Dada una f�rmula cualquiera, A, es l�cito en el c�lculo pasar a una f�rmula nueva por el procedimiento de adicionarle mediante disyuntor el miembro que nos plazca, B (el cual puede ser cualquiera, incluso otra vez A, o tambi�n la negaci�n de A).

El fundamento intuitivo de esta regla es el siguiente: sup�ngase que A es verdadera; entonces nada se pierde con a�adirle mediante disyuntor otra f�rmula B, cualquiera que �sta sea, porque la disyunci�n obtenida ser� tambi�n una f�rmula verdadera. Y si A fuera falsa, entonces tampoco se perder�a nada con la adici�n de B, cualquiera que fuese su valor de verdad. A esta regla la denominaremos Ad o adici�n. Esquem�ticamente:

1.2.4.2 Regla de eliminaci�n del disyuntor

Su sentido es el siguiente: supuesta inicialmente una disyunci�n, entonces no se est� en principio autorizado a pasar a la afirmaci�n de alguno de sus extremos en particular. Lo que en principio se infiere de la noticia de la verdad de una disyunci�n es, que uno al menos de sus componentes, no se sabe cu�l, es verdadero. Para determinar cu�l sea el que efectivamente cumple tal condici�n o si ambos la cumplen se requiere nueva informaci�n.

Sin embargo, aun cuando no se pueda pasar l�gicamente de la verdad de una disyunci�n a la verdad de ninguno de sus extremos en particular, cabe apelar a un recurso que consiste en suponer cada uno de esos extremos con car�cter provisional o subsidiario y por separado. Si del an�lisis de cada una de esas dos suposiciones se obtuviese un mismo resultado, ello querr�a decir que tal resultado se sigue l�gicamente de la disyunci�n inicial, aunque continuemos careciendo de informaci�n precisa acerca de cu�l sea el componente de �sta que cumpla la condici�n de ser verdadero. Y como la conclusi�n as� obtenida es independiente de esa informaci�n, los supuestos subsidiarios al efecto pueden ser cancelados.

Este razonamiento se apoya en un conocido m�todo de prueba informal: la prueba por casos, cuya marcha puede resumirse as�:

Dada una disyunci�n: A � B

Sup�ngase A: entonces se sigue C

Sup�ngase B: entonces se sigue c.

Por consiguiente, se sigue C

El esquema de esta regla es el siguiente:

Los supuestos son subsidiarios y deben ser cancelados, por consiguiente, antes del establecimiento de la conclusi�n. A esta prueba se la denominar� Cas o prueba por casos.

1.2.5 Reglas b�sicas de la negaci�n

1.2.5.1 Introducci�n de negador

Se basa en la idea central del c�lculo de que una contradicci�n es inadmisible; toda proposici�n que d� lugar a ella debe ser negada. La denominaremos Abs o absurdo. Esquem�ticamente:

1.2.5.2 Eliminaci�n de negador

Se basa en el dato de que negar doblemente algo es tanto como afirmarlo. La denominaremos DN o doble negaci�n. Esquem�ticamente:

1.2.6 La regla TEOREMA

TEOREMA. Cualquier instancia de un teorema, una declaraci�n que ha sido establecida sobre fundamentos l�gicos, puede introducirse como un paso una prueba en cualquier punto de una deducci�n.

Ya hemos visto un cierto n�mero de teoremas, entre ellos p � q, p � ��p, p � (q � p), �p � (p � q), (p � � p) � q. Ciertamente ser�a est�pido intentar probar estos teoremas una vez y otra cuando queramos usarlos, o intentar probar sus ejemplificaciones, como por ejemplo, (r � s) � (r � s) o (a � b) � ��(a � b). Podemos ahorrarnos este trabajo innecesario recordando los resultados del trabajo ya hecho; citamos un teorema como un atajo en una deducci�n.

La regla TEOREMA nos autoriza a usar cualquier teorema, una vez demostrado, y nos indica como debe hacerse esto. Introducimos una instancia de un teorema como un paso en una prueba, bien al principio de la deducci�n o en cualquier momento que lo necesitemos. Si lo introducimos al principio, no necesita asteriscos; en cualquier otro punto llevar� los asteriscos adecuados a la posici�n que ocupa (no se a�aden asteriscos).

Los teoremas de la l�gica proposicional y sus instancias son ordinariamente denominados "tautolog�as". Una afirmaci�n es "tautol�gica", o una tautolog�a, si puede demostrarse que es verdadera, independientemente de los hechos, mediante los m�todos de la l�gica proposicional.

Hagamos un inciso para discutir lo que entendemos por una "instancia" de un teorema. Hemos usado la noci�n de instanciaci�n, o derivaci�n de instancias, informalmente principalmente en conexi�n con el uso de reglas. 'p � q' es una instancia de una afirmaci�n condicional. As� 'Si llueve, uso mi paraguas' y 'Uso paraguas si llueve o nieva' y '(p � q) � (q � p)', etc.; son todas instancias de 'p � q'. El Modus Ponens nos dice que de cualquier afirmaci�n condicional, tomada junto con su antecedente, se sigue su consecuente, esto es, que q puede derivarse de p � q junto con p, en lugar de p y q podemos poner cualesquiera afirmaciones, sin que importe de que tratan, cu�l es su complejidad, o si son diferentes o similares. Todo principio de inferencia afirma que todos los argumentos que todos los argumentos que son sus instancias son v�lidos. Estos principios de inferencia, en otras palabras, hacen afirmaciones generales.

Tambi�n los teoremas hacen afirmaciones generales. Puesto que previamente ya se ha demostrado que todo teorema es v�lido, puede suministrarse una prueba similar de validez para cada instancia de �l. Sustituimos por las variables de la formulaci�n original las variables relevantes o afirmaciones que aparecen en la instancia actual y la prueba se realiza del mismo modo que antes. Esto puede hacerse siempre que el ejemplo haya sido construido correctamente, esto es, siempre que el teorema original, digamos p o q, sea un ejemplo de sustituci�n de p y q.

La sustituci�n uniforme es una garant�a de que los ejemplos se construyen correctamente. Cuando una variable est� repetida en el original su sustituto debe repetirse en la ejemplificaci�n, de modo que todo lo que aparece en el original y en la ejemplificaci�n sea lo mismo - en otro caso habremos "cambiado el tema" il�citamente. Por ejemplo, es un error pensar que 'p � (p � q)' es una instancia de 'p � p', aunque ambos sean teoremas, porque en 'p � (p � q)' el antecedente y el consecuente no son iguales. Cualquier prueba de 'p � (p � q)' debe ser bastante diferente de la prueba de 'p � p'. En cambio, '(p � q) � (p � q)' s� que es una instancia de 'p � p'; 'p � q' ha sido uniformemente sustituido por 'p' tanto en el antecedente como en el consecuente. Las pruebas para los dos teoremas deben ser id�nticas, como puede verificar el lector. En la argumentaci�n ordinaria, cuando usemos una regla o afirmaci�n general, usamos ejemplificaciones intuitivamente y, la mayor parte de las veces, correctamente. No obstante es importante realizar esto con cuidado. Como hemos visto, 'p � p' es una instancia de 'p � q', pero 'p � q' no es una instancia de 'p � p'. '(p � q) � r' es una instancia de '(q � p) � s', y viceversa. '(p � q) � p' es una instancia de 'p � q', pero no de 'p � q'. Etc. Mediante la pr�ctica aprendemos a hacer este tipo de sustituciones de un modo fiable.

1.3 Reglas derivadas del c�lculo de proposiciones

Las ocho reglas anteriores son por s� solas suficientes para resolver todo problema de deducci�n formal que se presente dentro de la l�gica de proposiciones. En la pr�ctica, sin embargo, la resoluci�n de argumentos con la exclusiva ayuda de estas reglas resulta demasiado lenta. Es conveniente, por ello, utilizar reglas derivadas, las cuales no son otra cosa que "combinaciones de aplicaciones de reglas b�sicas"

1.3.1 Reglas derivadas de implicaci�n

1.3.2 Reglas derivadas de conjunci�n y disyunci�n

1.3.2.1 Propiedad conmutativa

1.3.2.2 Propiedad asociativa

1.3.2.3 Propiedad distributiva

1.3.2.4 Propiedad de idempotencia

1.3.2.5 Ley de absorci�n

1.3.3 Reglas derivadas de negaci�n

1.3.3.1 Contraposici�n y "modus tollens"

1.3.3.2 Introducci�n de doble negador y "ex contradictione quodlibet"

1.3.3.3 Principios de no contradicci�n y de tercero excluido

1.3.4 Reglas adicionales de conjunci�n y disyunci�n

1.3.4.1 Leyes de importaci�n y exportaci�n

1.3.4.2 Silogismo disyuntivo

1.3.4.3 Dilemas

1.3.5 Reglas de coimplicaci�n

1.3.5.1 Consecuencias de la definici�n de coimplicador

1.3.5.2 Propiedades del coimplicador

1.3.6 Intercambio

La regla de intercambio es una regla que permite operar directamente sobre subf�rmulas sin necesidad de sacarlas primero de ese contexto en el curso de la deducci�n.

Sean A y B dos f�rmulas cualesquiera del c�lculo. Sea C otra f�rmula que contiene por lo menos una ocurrencia de A como subf�rmula; especificaremos esto escribiendo C_A, es decir: la f�rmula C, en la que se destaca provisionalmente una determinada ocurrencia de una determinada subf�rmula A. Sea C_B el resultado de cambiar en C la referida ocurrencia de A por b.

A esta operaci�n se le da el nombre de intercambio. A la f�rmula C la llamaremos f�rmula inicial; a las f�rmulas A y B, subf�rmulas intercambiadas, o m�s espec�ficamente, subf�rmula reemplazada a la primera y subf�rmula reemplazante a la segunda; a la f�rmula C_B la llamaremos f�rmula final.

La regla de intercambio se puede formular as�: dadas dos f�rmulas equivalente A y B, y dada una tercera f�rmula C que contiene como subf�rmula la ocurrencia de una de ellas, puede cambiarse en C dicha ocurrencia de esa subf�rmula por la ocurrencia de su equivalente. En forma abreviada: A�B, C_A C_B. Esta regla permite cambiar una f�rmula por su equivalente dentro del contexto de cualquier premisa y sin necesidad de descomponer primero a esa premisa. La validez de esta regla depende de la demostraci�n del teorema de intercambio.

Teorema de intercambio. Lo demostraremos por inducci�n matem�tica.

Este teorema consta de una hip�tesis: A � B y de una tesis: C_A � C_B.

Base. G(C_A) =0. Esto quiere decir que C_A es at�mica. Pero entonces C_A es A y A es B, y por tanto, C_A � C_B.

Paso. Se supone que para cualquier grado n de C_A, C_A � C_B. Y se ha de probar que para una f�rmula D de grado l�gico n+1 y tal que englobase inmediatamente a C_A, valiese el intercambio: si C_A se cambia por C_B en el seno de D, el resultado D⁺ ser� tal que D � D⁺.

La f�rmula D ha de tener forzosamente la estructura: (1) de una negaci�n, y entonces D �C_A; (2) de una conjunci�n, y entonces D _A � E; (3) de una disyunci�n, y entonces D C_A � E; o de (4) una implicaci�n, y entonces o bien (4.1) D C_A � E, o bien (4.2) D E � C_A.

Caso (1): D �C_A. Hay que demostrar �C_A��C_B.

1 C_A � C_B hip�tesis de la inducci�n

2 C_B � C_A ECO₂1

3 �C_A � � C_B Cp2

4 C_A � C_B ECO₁1

5 �C_B � � C_A Cp4

6 � C_A ��C_B ICO4,5

Caso (2): D C_A � E. Hay que demostrar C_A � E � C_B � E.

Caso (3): D C_A � E. Hay que demostrar C_A � E � C_B � E.

Caso (4.1) DC_A�E. Hay que demostrar (C_A�E)�(C_B�E).

Caso (4.2): DE�C_A. Hay que demostrar (E�C_A)�(E�C_B).

1.3.7 Leyes de interdefinici�n

1.3.7.1 Definiciones de �

1.3.7.2 Definiciones de �, �

1.3.8 Leyes de De Morgan

2. CALCULO DE PREDICADOS

Los enunciados compuestos o moleculares hasta ahora definidos se han basado en la combinaci�n de enunciados preexistentes mediante el empleo de juntores. As�, el enunciado compuesto "llover� o no llover�" es el resultado de combinar mediante la part�cula "o" el enunciado at�mico "llover�".

Un tipo distinto de enunciados compuestos son los que se basan en el empleo de las part�culas todo y alguno. Las proposiciones que se fundan en el empleo de la part�cula "todo" se denominan universales, y las que se fundan en la part�cula "alguno" se denominan particulares.

La introducci�n de estos elementos es debido a que hay argumentos que no pueden ser resueltos con la sola ayuda de la l�gica de proposiciones. Un ejemplo de un argumento de este tipo podr�a ser:

Todo griego es europeo. (p)
Todo ateniense es griego. (q)
Por tanto, todo ateniense es europeo. (r)

Este argumento es concluyente, porque la verdad de sus premisas es incompatible con la falsedad de su conclusi�n. Sin embargo, no hay ninguna ley en l�gica de juntores que permita concluir r partiendo de p y q. Ello es debido a que en este argumento se utiliza la palabra todo que, junto con la palabra alguno, rebasa el �mbito de la l�gica de proposiciones.

La parte de la l�gica que se ocupa del uso de la part�cula "todo" o "alguno" es la l�gica cuantificacional o l�gica de predicados.

Las operaciones del c�lculo de proposiciones se reducen a:

1. abrir las f�rmulas cerradas por cuantificadores, suprimiendo o desmontando provisionalmente a �stos;
2. aplicar las t�cnicas de l�gica de proposiciones a las f�rmulas resultantes, y
3. restituir o reponer al t�rmino de las operaciones los cuantificadores que se hab�an suprimido.<

2.1 S�mbolos formales

En el c�lculo de predicados utilizaremos los mismos s�mbolos que en el c�lculo de proposiciones con la adici�n de los dos s�mbolos siguientes:

Generalizador: "

Particularizador: $

2.1.1 Generalizador

Consid�rese un conjunto cualquiera de objetos, por ejemplo, el integrado por los planetas del sistema solar. Consid�rese asimismo una nota que pueda predicarse con verdad o falsedad de los miembros de dicho conjunto, por ejemplo, la de "girar en torno al sol".

La expresi�n "x gira en torno al Sol" no es, propiamente hablando, una proposici�n, sino una funci�n proposicional, es decir, una expresi�n "abierta" que contiene una variable individual "x" cuyo rango o universo de discurso es el conjunto que se acaba de fijar.

Sustituyendo esa variable por el nombre de uno de los miembros del universo de discurso de la misma, por ejemplo "J�piter", la citada funci�n proposicional queda "cerrada" y pasa a convertirse en proposici�n: "J�piter gira en torno al Sol". Pero, por lo que se refiere a nuestro ejemplo, cualquier otro individuo del mismo universo de discurso podr�a ocupar el lugar de "x" con id�ntico resultado. Ello puede expresarse en lenguaje ordinario con la proposici�n: "Todos giran en torno al Sol". Esta proposici�n podr�a expresarse de un modo m�s formal as�: "para todo x(x gira en torno al Sol)", teniendo en cuenta que "x" es una variable cuyo rango o universo de discurso es el conjunto fijado. Una formalizaci�n m�s completa de la misma proposici�n se obtendr�a representado el predicado "girar en torno al Sol" por la letra predicativa "P" y buscando un s�mbolo especial para la part�cula "todo" (). El resultado ser�a: "x(Px).

El s�mbolo """ recibe el nombre de generalizador o cuantificador universal, e indica - sea verdadera, sea falsamente - que la expresi�n que le sigue es v�lida para todos los valores de la variable "x".

2.1.2 Particularizador

La part�cula "alguno" se simboliza por "$", y recibe el nombre de particularizador o cuantificador existencial. "$xPx" indica, verdadera o falsamente, que al sustituir "x" en "Px" por alg�n valor de x, resulta una proposici�n que es v�lida para, al menos, un caso.

2.2 Reglas del c�lculo de predicados

2.2.1 Regla de eliminaci�n de generalizador

Esta regla permite inferir de una generalizaci�n el resultado de suprimir el cuantificador cerrando convenientemente la matriz mediante la oportuna introducci�n de una constante individual.

En el uso ordinario del discurso se considera leg�timo pasar por inferencia de la ley general al caso concreto, de todos en general, a �ste en particular. La regla de la eliminaci�n de generalizador se formula as�:

EG
"xPx
Pa

Esta regla viene a ser como una extensi�n o generalizaci�n de la regla de eliminaci�n de conjuntor; y, en efecto, no podr�a ser de otro modo, pues el cuantificador universal es, simplemente, una uni�n de conjunciones

2.2.2 Regla de introducci�n de generalizador

Esta regla corresponde al uso ordinario de un principio intuitivo: "lo que vale para un caso cualquiera, vale para todo caso". Dicho principio permite establecer una inferencia que va de cualquiera a todo, es decir, del caso a la ley.

El paso inferencial de una nota respecto de un individuo cualquiera a la atribuci�n de la misma a todo individuo en general, estar� justificado siempre que el individuo que sirva de base a la generalizaci�n sea un individuo absolutamente cualquiera, esto es, que se encuentre libre de toda condici�n o privilegio. S�lo teniendo la seguridad de haber elegido ese individuo, y despu�s de probar que posee la propiedad deseada, se puede concluir la generalizaci�n.

As�, ser� l�cito pasar de una predicaci�n Pa a la generalizaci�n de la misma, pero despu�s de asegurarse de que el individuo elegido, el par�metro individual "a" del caso, no figura en ning�n supuesto o hip�tesis sin cancelar de la que dependa la predicaci�n Pa. La regla es la siguiente:

IG Pa
"xPx

La condici�n cr�tica a que se sujeta esta regla es la siguiente: que el par�metro propio de la generalizaci�n no figure en ning�n supuesto no cancelado del que dependa Pa.

Ilustremos esto con dos ejemplos. El primero de ellos constituye una aplicaci�n correcta de la introducci�n del generalizador, mientras que el segundo es una aplicaci�n incorrecta.

Ejemplo 1: o todos son negros o todos son amarillos; por tanto, todos son o negros o amarillos.

Este argumento, puesto en lenguaje formal, queda de la siguiente manera:

"xPx �"xQx, por tanto, "x(Px � Qx)

Demostraci�n:

La regla IG se aplica a la l�nea 8 (resultado de una prueba por caos que es ya independiente de supuestos subsidiarios) para construir la l�nea 9, lo cual es correcto.

Ejemplo2: Todos son o negros o amarillos; por tanto, o todos son negros o todos son amarillos.

Este argumento, en lenguaje formal, quedar�a:

"x(Px � Qx), por tanto "xPx � "xQx

Demostraci�n:

La posibilidad de aplicar la regla IG a la l�nea 3 para construir la l�nea 4 queda frustrada por el hecho de que la l�nea 3 no est� exenta de supuestos, ya que ella misma es una suposici�n. La condici�n cr�tica de la regla impide, pues, su aplicaci�n en tal caso.

2.2.3 Introducci�n de particularizador

Esta regla tiene por base un modo de inferencia del discurso intuitivo que permite pasar de la atribuci�n de una nota a un individuo a la afirmaci�n de que existen sujetos (cuando menos uno) que poseen esa nota. La regla es como sigue:

IP Pa

$xPx

que se puede parafrasear diciendo: dada una f�rmula de estructura predicativa con un par�metro a, se puede admitir en el c�lculo una nueva f�rmula que proceda de ella cambiando el referido par�metro por una variable individual y anteponiendo al resultado de este cambio el correspondiente prefijo de cuantificaci�n particular

2.2.4 Eliminaci�n de particularizador

Se basa en una inferencia del discurso intuitivo que consiste en pasar de la existencia de un individuo en principio no identificado a las consecuencias que se siguen de imaginar su identificaci�n. Si se sabe que hay alg�n individuo tal que posee una determinada propiedad, entonces, aun sin saber exactamente cu�l sea ese individuo, se puede pasar al establecimiento de las consecuencias que se siguen del supuesto de su identificaci�n.

Semejante inferencia s�lo puede ofrecer garant�a de correcci�n bajo ciertas restricciones. El individuo imaginariamente elegido no puede ser un individuo absolutamente cualquiera (puesto que el dato inicial: alguno, no es extensible a todos), sino uno tal que posea la propiedad en cuesti�n. Ahora bien, el requisito impuesto al individuo imaginado de que sea tal que satisfaga esa propiedad, arrastra como consecuencia la restricci�n de que ese individuo no haya sido mencionado antes en ninguna hip�tesis, es decir, que no haya intervenido antes en la prueba soportando alguna otra condici�n.

Estas restricciones se pueden formular as�:

1. el s�mbolo individual o par�metro propio, elegido para la instanciaci�n, no debe aparecer en la premisa existencial de que se parte

2. la l�nea terminal o conclusi�n no debe contener tampoco ese s�mbolo individual, ni depender de ning�n supuesto sin descargar que lo contenga. Es decir, el supuesto imaginario debe ser cancelado

El esquema de la regla es el siguiente:

Condici�n de la regla: el par�metro propio a no debe ocurrir en $xPx, ni tampoco en A, ni en ninguna hip�tesis previa no descargada

2.2.5 Intercambio cuantificacional

Seg�n esta regla, toda f�rmula o subf�rmula puede ser reemplazada, cualquiera que sea el contexto que la envuelva, por su equivalente.

Siendo A, B y C f�rmulas cualesquiera, y siendo C_A una f�rmula que contiene una o m�s veces a la primera, y C_B el resultado de cambiar en esta �ltima una o m�s ocurrencias de A por una o m�s ocurrencias de B, la formulaci�n de la regla de intercambio ser�a:

Para probar el teorema de intercambio del c�lculo de predicados hay que a�adir, a los casos probados para el c�lculo de proposiciones otros dos casos.

2.2.6 Definici�n del particularizador

DP $xPx

��"x�Px

2.2.7 Definici�n del generalizador

DG "Px

$�x�Px

2.2.8 Negaci�n del generalizador

NG "�xPx

$x�Px

2.2.9 Negaci�n del particularizador

NP $�xPx

"x�Px

3. La l�gica de clases

La l�gica de clases es la l�gica de predicados mon�dicos; fue la primera en alcanzar su desarrollo, por obra de Boole y de Morgan. Estos autores pensaban que la l�gica cl�sica pod�a interpretarse en t�rminos de clases y de relaciones entre las clases. La l�gica de clases ofrec�a la posibilidad de formalizar en cierto grado la l�gica aristot�lica, que estaba escasamente formalizadea.

Hoy la l�gica de clases es posterior a la l�gica de enunciados o l�gica proposicional. La raz�n es que decir que dos clases que se encuentran relacionadas en cierta manera es ya enunciar una proposici�n: en consecuencia, un c�lculo desarrollado de clases supone nociones del c�lculo de proposiciones.

La l�gica de clases supone una extensi�n de la l�gica a campos que la l�gica proposicional no pod�a abarcar. La raz�n de esta limitaci�n de la l�gica proposicional es clara: por principio, la l�gica proposicional considera no analizables las proposiciones simples o mon�dicas. Se limita, en consecuencia, a estudiar la estructura l�gica de las proposiciones compuestas o mol�culares; es decir, a estudiar el como c�mo las proposiciones simples son encuadradas en proposiciones complejas por medio de las conectivas fundamentales, y las consecuencias que este encuadramiento de las proposiciones puede traer consigo con vistas a la argumentaci�n y a la deducci�n. Esta limitaci�n de principio tiene como consecuencia que argumentos que son evidentemente v�lidos desde el punto de vista l�gico formal sin, sin embargo, inexplicables por los m�todos de la l�gica proposicional. Entre estos argumentos se encuentran los argumentos de la l�gica tradicional como, por ejemplo: "Todos los equipos de f�tbol tienen once jugadores. El R. Madrid es un equipo de f�tbol. Luego, el R. Madrid tiene once jugadores". Este argumento es claramente v�lido. Pero es imposible dar raz�n de su validez desde la l�gica proposicional. Desde el punto de vista de esta l�gica no tenemos aqu� mas que tres proposiciones simples distintas, entre las que no es posible establecer ninguna relaci�n. Y es que en este tipo de argumento desempe�a un papel fundamental la estructura interna de la proposici�n, estructura que la l�gica proposicional, por principio, renuncia a estudiar.

La l�gica de clases evita esta limitaci�n entrando en el an�lisis de la estructura interna de la proposici�n. Por ello supone una cierta ampliaci�n del campo de la l�gica proposicional.

3.1 La noci�n de "clase"

Se entiende por "clase" una agrupaci�n de individuos de cualquier tipo que tienen en com�n una propiedad, por la cual se les identifica como miembros de ella. La clase "letras de esta p�gina" es el conjunto de los signos escritos en este folio y que tienen la propiedad de ser letras. As�, los t�rminos "clase" y "propiedad" est�n estrechamente relacionados: a toda propiedad le corresponde una clase, y a toda clase le corresponde, al menos, una propiedad; una propiedad delimita o define una clase.

Las propiedades, en s� mismas, son una parte de la realidad. El ser azul es una caracter�stica f�sica de la luz que ilumina esta mesa. Bajo esta perspectiva real, no es objeto de la l�gica, pues �sta no investiga lo que es el color. Pero esa propiedad de la luz es simbolizada en nuestro pensamiento en predicados de las cosas. Y en cuanto predicados las propiedades de la luz s� interesan a la l�gica.

En cuanto a la relaci�n de la noci�n de predicado con la de proposici�n, aquel es una parte de �sta (desde el punto de vista l�gico). Gramaticalmente suelo tomar la forma de un nombre com�n, o de un adjetivo. Pero tambi�n podemos tratar como predicados a los verbos; as�, en "todos los opositores estudian los temas de la oposici�n" podemos considerar a "estudian los temas de la oposici�n" como un predicado. En todo caso, el predicado no es una proposici�n; carece de la caracter�stica esencial de las proposiciones: la de ser verdaderas o falsas. Seg�n esto, consideramos una clase como el conjunto de aquellos objetos a los que se atribuye con verdad un predicado.

La noci�n de clase se corresponde con la de denotaci�n de un t�rmino (o predicado). Lo que interesa a la l�gica no es lo que un predicado connota, es decir, su significado, sino lo que un predicado denota, es decir, el conjunto de objetos de los que puede predicarse con verdad. Ello equivale a decir que en la l�gica de clases se emplean los predicados extensionalmente ("extensi�n" de un t�rmino es lo mismo que "denotaci�n", mientras que "intenci�n" es lo mismo que "connotaci�n").

3. M�todos de prueba

Razonar es algo que todos hacemos. Tenemos una pieza de informaci�n, o varias, elegimos esta u otra, y nos movemos de esta (premisas) a otra -usualmente m�s concisa que aquella de la que partimos, o m�s clara, o que se ajusta mejor a nuestros prop�sitos- que pensamos se sigue de ella. Nos movemos (en la mente) de premisas a conclusiones. Este procedimiento, que es el modo principal en que se usa la l�gica de primer orden, es v�lido para asegurarnos que las conclusiones a las que llegamos no son menos ciertas que las premisas de las que partimos.

El razonamiento puede tener lugar en dos clases de contexto. Arg�imos hipot�ticamente cuando no estamos seguros de nuestras premisas, pero queremos ver a d�nde nos llevan: para verificar una hip�tesis en ciencia, para investigar el resultado de un posible curso de acci�n, o, a veces, para practicar y para jugar. Por otra parte, el razonamiento ser� v�lido para nosotros s�lo si las conexiones establecidas son fuertes, si las conclusiones extra�das se siguen de las premisas.

Razonamos indirectamente cuando queremos refutar algo que suponemos falso. Consideramos, o "suponemos", algo cuestionable "por mor del argumento" e intentamos mostrar que de ello se siguen conclusiones inaceptables. Estas conclusiones son inferencialmente inaceptables, bien porque son autocontradictorias, bien porque crean conflictos con afirmaciones generalmente aceptadas por nosotros o nuestros interlocutores -aquellos con quienes estamos argumentando- y producen una contradicci�n en el contexto. Tal razonamiento sirve para desacreditar el punto de vista del que la contradicci�n ha sido derivada. Sin embargo, el argumento es v�lido para nosotros -alcanza su objetivo- s�lo si la conclusi�n alcanzada est� de alguna manera ligada con las premisas de partida, si el razonamiento es herm�tico e intelectualmente conservador, esto es, si no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusi�n falsa.

�C�mo podemos garantizar esta clase de conservaci�n? No puede ser garantizada; puesto que somos humanos, solo podemos alcanzar lo mejor relativamente a nosotros. Pero, m�s importante a�n, indiquemos que, despu�s de todo, tal conservaci�n no es siempre deseable. En ciencia, en ingenier�a, en la vida diaria, hacemos conjeturas que nos llevan de premisas razonablemente seguras a conclusiones que pueden ser falsas, incluso aunque las premisas sean verdaderas. Este proceso "inductivo" -razonamiento acorde con la l�gica de la probabilidad- debe ser tambi�n sometido a reglas -pero reglas distintas a las que aqu� vamos a estudiar. El punto que quiero resaltar es que, cuando nos movemos no deductivamente de premisas a conclusiones que pueden ser falsas, incluso cuando las premisas son verdaderas, debemos ser conscientes de lo que hacemos. Estamos asumiendo riesgos. Y los riesgos debe acometerse s�lo para ciertos prop�sitos y con garant�as.

La l�gica deductiva de primer orden no es una l�gica que admita riesgos. Es la l�gica de la seguridad, de la conservaci�n. Tambi�n puede ser usada en la l�gica de la inducci�n y la probabilidad, en parte porque ayuda al investigador a ver los riesgos que asume.

Concedido, entonces, que queremos restringir nuestro razonamiento a aquello que pretende ser seguro, conservador - �por qu� centrarnos en las reglas?

Un argumento, el mecanismo por el que nos movemos de una proposici�n a otra, se reconoce por ser fiable en virtud de su estructura. Si un argumento es fiable -decimos de �l que es v�lido- y otro argumento est� "compuesto" exactamente como �l, pero trata de cosas distintas, el segundo argumento es exactamente tan fiable como el primero. Esto es generalmente aceptado. Deseamos reforzar nuestros argumentos se�alando otros argumentos que tengan la misma estructura (y que quiz�s tratan sobre materias menos controvertidas) y que nuestro interlocutor acepte. Pretendemos desacreditar los argumentos de nuestros interlocutores se�alando su similaridad con otros argumentos ya rechazados. En tales discusiones estamos aceptando el punto de vista de que la estructura de los argumentos es que los hace fiables.

La confianza del l�gico en la estructura es una cuesti�n de fe - fe en la raz�n, en la racionalidad. La historia de la ciencia y la tecnolog�a es una prueba de que esta confianza en la raz�n ha dado sus frutos - pero no debemos usar esta fertilidad como una evidencia del valor del razonamiento. Para nuestros prop�sitos, lo que necesitamos reconocer es que la racionalidad es confianza en una especie de estructura. E intentaremos ser racionales.

Un argumento es un puente que nos permite movernos de una premisa o conjunto de premisas a una conclusi�n. Cuando criticamos un argumento, no criticamos sus premisas - el punto del que partimos. Estamos evaluando el puente que nos permite ir de un lado a otro. Nuestro proyecto es discernir la estructura efectiva de tal puente, articularla y evaluarla. Y esto se hace por medio de reglas de inferencia. Un argumento es aceptable -v�lido si opera por medio de reglas que no pueden llevarnos de la verdad a la falsedad. Un argumento es inv�lido si es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusi�n falsa. As�, nuestras reglas de inferencia deben dise�arse de modo que sean conservativas en el siguiente sentido: ning�n argumento construido de acuerdo con ellas puede ir de premisas verdaderas a una conclusi�n falsa.

Es deseable que el sistema de reglas que usemos no s�lo sea fiable, como ya hemos visto, sino tambi�n suficiente para nuestros prop�sitos, debe ser completo en el sentido de que cualquier regla nueva y razonable pueda derivarse de las reglas ya en uso.

3.1 Deducci�n

Un argumento es un conjunto de enunciados tal que uno de ellos, llamado conclusi�n, se sigue de los otros, a los que se llama premisas.

Se puede distinguir entre argumentos deductivos y argumentos inductivos. Un argumento deductivo es aquel que, hablando grosso modo, va de lo general a lo particular, mientras que en los inductivos se pasa de lo particular a lo general. Una mejor definici�n consistir�a en decir que en los argumentos deductivos el paso de las premisas a la conclusi�n es anal�tico (necesario), mientras que en los argumentos inductivos ese paso es sint�tico (no necesario). El principal, si no el �nico, objeto de la l�gica formal es el argumento deductivo.

Los argumentos, a diferencia de las proposiciones, no son ni verdaderos ni falsos, sino bien construidos o mal construidos, correctos o incorrectos. Al argumento bien construido se le llama v�lido, y al mal construido inv�lido. Un argumento correcto o v�lido es un conjunto de enunciados tal que no es posible que los primeros (las premisas) sean verdaderos y el �ltimo (la conclusi�n) falso. En un argumento bien construido, la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusi�n. Esta definici�n no excluye la posibilidad de argumentos que tengan una o m�s premisas falsas y conclusi�n falsa, y sin embargo, sean correctos, ni tampoco de argumentos cuyas premisas contengan alguna falsedad, pero cuya conclusi�n sea verdadera

La deducci�n puede ser de dos clases, directa e indirecta. En la deducci�n directa, las premisas llevan a la conclusi�n de un modo directo y positivo; por ejemplo:

S�crates es hombres
Todos los hombres son mortales
Por tanto, S�crates es mortal

En la deducci�n indirecta, lo que se hace es dar una especie de rodeo para llegar a la conclusi�n. Este rodeo consiste en lo siguiente:

1. Dar por supuesta la falsedad de la conclusi�n (es decir, la negaci�n de lo que se desea probar);

2. obtener, a partir de ese supuesto, una contradicci�n;

3. rechazar, en vista de semejante resultado, dicho supuesto; y

4. afirmar, como consecuencia de ello, la conclusi�n deseada

Este m�todo, denominado reductio ad absurdum, se inspira en la idea, crucial para la l�gica, de que una contradicci�n es inadmisible: si una proposici�n da lugar a una contradicci�n, entonces debe ser rechazada.

3.2 Deducci�n formal

Una deducci�n formal es una secuencia finita de f�rmulas tales que cada una de ellas sea: a) un supuesto inicial, o b) un supuesto provisional, o c) una f�rmula que se derive l�gicamente de otra o de otras anteriores por inferencia inmediata. Cada f�rmula de la secuencia constituye una l�nea de derivaci�n. La �ltima l�nea de derivaci�n es la conclusi�n. todas las l�neas de derivaci�n anteriores a la conclusi�n podr�n ser llamadas premisas.

Las l�neas en una derivaci�n pueden ser de tres tipos:

1. Supuestos iniciales o premisas iniciales. Son f�rmulas que se consideran hipot�ticamente dadas desde el principio de la derivaci�n

2. L�neas que proceden de otra o de otras l�neas anteriores por aplicaci�n de una regla de inferencia. De estas l�neas decimos que son consecuencias l�gicas inmediatas de otra o de otras anteriores.

3. L�neas que se introducen provisional o subsidiariamente en el curso de la prueba y que deber�n ser canceladas antes del establecimiento de la conclusi�n. Estas l�neas se denominan supuestos provisionales.

4. La derivaci�n se efect�a colocando en columna, una debajo de otra, las premisas correspondientes a los supuestos iniciales y procediendo, en ese mismo orden, a extraer mediante inferencia inmediatas o por introducci�n de supuestos provisionales nuevas l�neas de derivaci�n con vistas al establecimiento de la conclusi�n, que ser� el �ltimo paso.

3.3 Resoluci�n de argumentos

El uso de las reglas b�sicas es, en principio, suficiente para resolver todo problema deductivo que tenga soluci�n en l�gica de proposiciones. El empleo concreto de dichas reglas en la resoluci�n de un argumento puede atenerse al siguiente plan:

1. En primer lugar hay que asegurarse de que el argumento est� debidamente formulado. Si se encuentra expuesto en lenguaje informal, ser� conveniente traducirlo a lenguaje simb�lico.

2. Una vez dispuestas en columna y debidamente numeradas las premisas iniciales, se intentar� extraer de ellas por sucesivas inferencias inmediatas la conclusi�n o f�rmulas que nos aproximen a ella.

3. Eventualmente cabe el recurso a suposiciones subsidiarias de tipo directo:

1. Si la conclusi�n o la f�rmula que de momento interese establecer tiene la estructura de una implicaci�n, puede introducirse como suposici�n provisional el antecedente de la misma, con lo cual se reduce el problema a obtener el consecuente de ella y luego establecer, por el teorema de deducci�n, la f�rmula deseada, al tiempo que se descarga el supuesto.

2. Si en las premisas a utilizar figura una disyunci�n, se dar�n provisionalmente por supuestos cada uno de sus extremos y se tratar� de deducir de cada uno de ellos la conclusi�n o la f�rmula que de momento interese establecer (prueba por casos)

4. Siempre que fallen otros intentos cabe recurrir a la deducci�n indirecta: se supone provisionalmente la negaci�n de la f�rmula que interese establecer y se intenta extraer de esa negaci�n una contradicci�n; el rechazo de esta contradicci�n nos proporcionar� la f�rmula deseada.

3.4 M�todos autom�ticos de prueba

El m�todo general de demostraci�n se visto en la secci�n anterior se basa �nicamente en la aplicaci�n de algunas reglas sencillas. Este m�todo es consistente, en el sentido que nos asegura que toda f�rmula que demostremos, si hemos aplicado bien las reglas, es una consecuencia l�gica de la f�rmula o f�rmulas iniciales (tambi�n llamadas premisas) o bien es una tautolog�a (si no partimos de premisas). Sin embargo, este m�todo no es decidible. Es decir, nada nos asegura que logremos demostrar, en un n�mero finito de pasos la f�rmula que queremos demostrar. Por ello, los l�gicos se han afanado en la b�squeda de m�todos que sean no s�lo consistentes, sino tambi�n decidibles. Estos m�todos han de ser, adem�s, autom�ticos, en el sentido de que mediante la aplicaci�n mec�nica de ciertas reglas incluso un ordenador podr�a demostrar un teorema. Vamos a ver ahora algunos de esos m�todos.

3.4.1 M�todo de las tablas de verdad

Fue ideado por Wittgenstein y publicado por primera vez en su obra Tractatus L�gico-Philosophicus. Wittgenstein pretend�a determinar de forma mec�nica la verdada o falsedad de una sentencia o una f�rmula, una vez establecidos los valores de verdad de las f�rmulas o las letras proposicionales unidas por las conectivas. Las tablas de verdad se basan en la significaci�n precisa de cada uno de los elementos. La l�gica cl�sica es una l�gica bivalente; en la l�gica bivalente necesitamos una tabla de verdad para cada conectiva que muestre el valor que adopta una f�rmula a partir del valor de verdad de sus partes. Las tablas de verdad de las diferentes conectivas l�gicas fueron vistas en la secci�n 1.1.

Para construir una tabla de verdad de una f�rmula cualquiera del c�lculo de proposiciones se siguen los siguientes pasos:

1. Calcular el n�mero de filas de la tabla. Este n�mero se calcula a partir del n�mero de variables enunciativas que intervienen en la f�rmula; para n variables ser� 2ⁿ el n�mero de filas de que ha de constar la tabla.

2. Confecci�n de las columnas iniciales. Una vez calculado el n�mero de l�neas, se encabezar�n con cada una de las variables sendas columnas que ser�n las iniciales de la tabla. Estas columnas iniciales se dedicar�n, l�nea por l�nea, a la distribuci�n sistem�tica de las combinaciones de los valores de verdad de las variables. Con esto habremos completado todas las posibles asignaciones veritativas a la f�rmula, es decir, habremos realizado todas las posibles asignaciones de verdad de la f�rmula.

3. Confecci�n de columnas intermedias. Una vez distribuidos en las columnas iniciales los posibles valores de verdad de las variables, se desglosa la f�rmula en sus componentes principales, y �stos en los suyos, hasta llegar a f�rmulas de grado uno, cada una de las cuales encabezar�, por orden de aparici�n en la f�rmula total (si no procede otro mejor), una nueva columna hacia la derecha. Cada una de estas columnas se cubrir� introduciendo en cada l�nea el valor que corresponda a la f�rmula que la encabece suponiendo que las variables tengan el asignado por la atribuci�n veritativa de la l�nea en cuesti�n. Luego se contin�a de la misma forma con las f�rmulas de grado dos, y as� sucesivamente.

4. Confecci�n de la columna final. De este modo, la �ltima columna a la derecha queda encabezada por la f�rmula total. Las columnas encabezadas por f�rmulas complejas se cubrir�n siempre introduciendo en cada l�nea los valores que correspondan de acuerdo con los ya asignados en columnas precedentes a sus componentes inmediatos.