La l�gica no siempre ha recibido el mismo nombre. Plat�n hablaba de la �dial�ctica� como la t�cnica de conocer las relaciones entre las ideas. Plat�n pensaba que cualquier contenido de la mente exist�a tal cual en la realidad, en el mundo de las Ideas separadas, el cosmos noet�s. Contra estas ideas separadas reaccion� Arist�teles, quien en su Oganon o colecci�n de obras l�gicas, emplea la palabra �anal�tica� para referirse a la l�gica. Para Arist�teles las ideas existen s�lo en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el nacimiento de la l�gica. Arist�teles distingue, as�, entre la metaf�sica(ciencia de la realidad o del ser y sus principios m�s profundos) y la l�gica (ciencia de las ideas y procesos de la mente), que Plat�n identificaba.

Por l�gica cl�sica puede entenderse a veces la l�gica simb�lica moderna est�ndar, esto es, c�lculos como los de Principia Mathematica y sistemas afines, que incluir�an la l�gica de enunciados, la l�gica de predicados de primer orden (incluida la l�gica de relaciones) y la l�gica de predicados de orden superior. Esto se opondr�a a las l�gicas no cl�sicas, esto es, aquellas que, o bien no comparten alg�n presupuesto fundamental de la l�gica cl�sica, o bien constituyen desarrollos complementarios de la l�gica cl�sica (como la l�gica modal), o bien constituyen de alg�n modo concepciones alternativas a la l�gica cl�sica (como la l�gica intuicionista). Pero puede entenderse tambi�n y m�s frecuentemente por �l�gica cl�sica) la l�gica aristot�lica con sus complementos medievales que permaneci� con apenas alguna variaci�n hasta Frege.

1. La l�gica griega

1.1 Arist�teles

La opini�n de que la l�gica comienza con Arist�teles se debe a varias razones. Una es que fue el primero en formalizar las expresiones, esto es, en emplear variables para los t�rminos, para poder analizar mejor las inferencias entre enunciados. Fue tambi�n el primero en concebir la l�gica como el estudio de la inferencia formalmente v�lida, y quien construy� el primer sistema de l�gica de t�rminos. Pero, adem�s de la l�gica sensu estricto, en las obras de Arist�teles aparecen los siguientes temas: estudios acerca del uso de los t�rminos en el lenguaje ordinario; estudios sobre el arte de la argumentaci�n y de la ret�rica; estudios de metodolog�a de la ciencia, incluida su concepci�n del m�todo inductivo; el estudio de la organizaci�n de los sistemas deductivos; y finalmente la teor�a del razonamiento deductivo o silog�stico.

En la concepci�n aristot�lica de la l�gica hay una vacilaci�n entre dos ideas. Por un lado, la l�gica es concebida, en tanto que �rgano, como proleg�meno de toda investigaci�n cient�fica, filos�fica o simplemente perteneciente al lenguaje ordinario. Por eso la l�gica no es una parte de la filosof�a; es, a lo sumo, el p�rtico que permite pasar a cualquiera de sus partes (la te�rica, la pr�ctica y la po�tica o productiva). Por otro lado, la l�gica aparece como el an�lisis de los principios seg�n los cuales se halla articulada la realidad. As� como el primado de la definici�n y de la dial�ctica en Plat�n pod�a ser considerado como la consecuencia del inter�s de este autor por el �qu� de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo silog�stico) en Arist�teles podr�a ser considerado como la consecuencia del inter�s de este pensador por el �porqu� de las cosas. La l�gica de Arist�teles parece seguir el tratado de una ontolog�a general. Esto se manifiesta en una serie de proposiciones que pueden resumirse del siguiente modo: a) la l�gica es un instrumento para el pensar y supone un pensamiento; b) el pensamiento supone una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es s�lo relativo, c) es necesario, en vista de ello, desarrollar una teor�a del concepto como expresivo del ser �constitutivo� de lo real, d) la l�gica puede de este modo convertirse en ciencia de los principios de lo que es.

En Metaf�sicaXI, 7 afirma que la l�gica es una t�cnica indispensable para la investigaci�n, pero a�ade que la consideraci�n de los principios silog�sticos corresponde al fil�sofo y a quien especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. As�, �l mismo reconduce la l�gica a su supuesto indispensable: la teor�a de la sustancia. Esta teor�a es el fundamento de todo conocimiento intelectual. La forma es a la vez la ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Arist�teles puede decir que el ser y la verdad se hallan en relaci�n rec�proca: que, por ejemplo, si el hombre existe, la afirmaci�n de que el hombre exista es verdadera; y rec�procamente, si es verdadera la afirmaci�n de que el hombre existe, el hombre existe. Pero Arist�teles a�ade que en esta relaci�n el fundamento es la realidad, y que la realidad no es tal porque la afirmaci�n que le concierne sea verdadera, sino que la afirmaci�n es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa. En otros t�rminos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de laforma y no viceversa: la metaf�sica precede y fundamenta la l�gica.

Por ello, se puede decir que Arist�teles no pretendi� fundar la l�gica como ciencia formal, en el sentido moderno del t�rmino, o sea, de ciencia sin objeto o sin contenido, constituida �nicamente por proposiciones tautol�gicas. Seg�n Arist�teles, la l�gica tiene un objeto y este objeto es la estructura de la ciencia en general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de la ciencia. Arist�teles afirma que la l�gica debe analizar el lenguaje apof�ntico o declarativo, que es el propio de las ciencias teor�ticas, en el cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso seg�n que la uni�n o separaci�n de los signos (de que consta una proposici�n) reproduzca o no la uni�n o la separaci�n de las cosas.

El lenguaje apof�ntico no tiene nada de convencional. Seg�n Arist�teles, las palabras del lenguaje son convencionales, tanto es as� que de una lengua a otra son distintas. Pero las palabras se refieren a �afectos del alma que son los mismos para todos y constituyen im�genes de objetos que son los mismos para todos�. Por tanto, se puede decir que, para Arist�teles, el lenguaje es convencional en su diccionario, no en su sintaxis; en consecuencia, la l�gica ha de mirar a esta sintaxis para analizar la estructura fundamental del conocimiento cient�fico y del ser.

1.1.1 Cuantificaci�n de los enunciados

Arist�teles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma �S es P� donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos las habemos con un enunciado conceptual o general.

En los Anal�ticos Anteriores s�lo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos.

El enunciado es una oraci�n que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad (Anal�ticos Anteriores, I, 24 a 16)

El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir, una expresi�n ling��stica como �cada�, �todos�, o �para todo�, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto.

El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, es decir, una expresi�n ling��stica como �alg�n� o �hay� o �para alg�n�, y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir, s�lo afirma que el concepto-predicado es aplicable a algunas cosas a las que tambi�n se aplica el concepto-sujeto.

El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de cuantificadores, por lo que no est� claro si el predicado se atribuye universal o particularmente al sujeto.

Una de las invenciones m�s notables de Arist�teles consisti� en la introducci�n de variables o letras esquem�ticas en la l�gica. No lleg� a introducir variables para individuos, pero s� para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras may�sculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera.

Divisi�n aristot�lica de los enunciados simples en ocho tipos, seg�n su cuantificaci�n y su car�cter afirmativo o negativo:

En su exposici�n definitiva, la l�gica aristot�lica no conoce mas que cuatro tipos de enunciados (simples), los tipos que los l�gicos medievales designaron mediante las letras a, e, i, o, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (a), universales negativos (e), particulares afirmativos (i) y particulares negativos (o).

1.1.2 Oposici�n entre enunciados

Arist�teles inici� su estudio sistem�tico de las relaciones l�gicas entre enunciados con la consideraci�n de la oposici�n. La oposici�n entre enunciados puede ser de dos tipos: oposici�n contradictoria y oposici�n contraria.

La oposici�n contradictoria o contradicci�n se da entre dos enunciados de los cuales uno es la negaci�n del otro. Por el principio del tercio excluso, al menos uno de ellos ha de ser verdadero y, por el principio de contradicci�n, el otro ha de ser falso. La contradicci�n se da entre dos enunciados singulares del tipo �s es P� y �s no es P�. Pero estos enunciados no juegan ning�n papel en la l�gica de Arist�teles. La contradicci�n se da tambi�n � y esto s� juega un papel importante en su l�gica � entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos �todo S es P� y �alg�n S no es P�. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el correspondiente particular afirmativo, es decir, dos enunciados de los tipos �ning�n S es P� y �alg�n S es P�.

�Todo A es B� es el contradictorio de �alg�n A no es B�

�Ning�n A es B� es el contradictorio de �alg�n A es B�

�Alg�n A es B� es el contradictorio de �ning�n A es B�

�Alg�n A no es B� es el contradictorio de �todo A es B�

Cada enunciado es equivalente a la negaci�n de su contradictorio. Por tanto, si negamos un enunciado, hemos de afirmar su contradictorio. Si afirmamos un enunciado hemos de negar su contradictorio.

La oposici�n contraria o contrariedad se da entre dos enunciados que no pueden ser ambos verdaderos, sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. Tambi�n los dos pueden ser falsos. Si el uno es verdadero, el otro es falso. Pero si el uno es falso, el otro puede ser tanto verdadero como falso. La contrariedad se da entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos �todo S es P� y �ning�n S es P�.

�Todo A es B� es el contrario de �ning�n A es B�

�Ning�n A es B� es el contrario de "todo A es B�

Leyes de la oposici�n contradictoria:

1. Si no (todo A es B), entonces (alg�n A no es B)
2. Si no (ning�n A es B), entonces (alg�n A es B)
3. Si no (alg�n A es B), entonces (ning�n A es B)
4. Si no (alg�n A no es B), entonces (todo A es B)

Leyes de la oposici�n contraria:

1. Si (todo A es B), entonces no (ning�n A es B)
2. Si (ning�n A es B), entonces no (todo A es B).

Estas dos leyes son inv�lidas desde el punto de vista de la l�gica actual.

1.1.3. Conversi�n de enunciados

Una de las razones por las que Arist�teles prescinde de los enunciados singulares en su l�gica madura estriba en su deseo de poder permutar sujeto y predicado en cualquier enunciado. Ahora bien, si el sujeto es un individuo o entidad concreta, es imposible que haga de predicado y, por tanto, la permutaci�n es imposible. Pero si tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas, entonces la permutaci�n es siempre posible. Por eso Arist�teles limita su consideraci�n a los enunciados conceptuales o generales.

La conversi�nde un enunciado consiste en la permutaci�n de su sujeto y su predicado. El enunciado conserva los mismos conceptos, pero el concepto que hac�a de predicado pasa a hacer de sujeto, y a la inversa. Naturalmente, no siempre la verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la permutaci�n de sus conceptos.

Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden convertirse siempre; los enunciados particulares negativos no pueden convertirse nunca; los enunciados universales afirmativos pueden convertirse s�lo a condici�n de transformar su cuantificaci�n de universal en particular. Arist�teles obtiene las siguientes leyes l�gicas de la conversi�n:

1. Si (ning�n A es B), entonces (ning�n B es A)
2. Si (alg�n A es B), entonces (alg�n B es A)
3. Si (todo A es B), entonces (alg�n B es A)

1.1.4. Silogismos y figuras

Arist�teles define el silogismo del siguiente modo:

El silogismo es un discurso en el cual, puestas ciertas cosas, algo distinto de las cosas puestas se sigue necesariamente de ellas, como consecuencia suya, y sin que sea preciso introducir ning�n otro t�rmino para justificar la necesidad de la conclusi�n (Anal�ticos Anteriores, I, 24 b 18)

Esta definici�n vale para cualquier deducci�n. Sin embargo, Arist�teles usa la palabra �silogismo� para referirse no a cualquier deducci�n, sino a un tipo muy especial de ella, la formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusi�n), cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos �todo S es P�, �ning�n S es P�, �alg�n S es P�, o �alg�n S no es P�, donde S y P son t�rminos generales (o conceptos) cualesquiera, y tales que en los tres enunciados juntos aparecen exactamente tres t�rminos o conceptos, no m�s ni menos.

Seg�n el an�lisis que hace Arist�teles, para que las premisas impliquen la conclusi�n, es preciso que en ellas aparezcan los dos conceptos de la conclusi�n (a los que llamaremos extremos), uno en cada premisa y, adem�s, un concepto nuevo, que no aparece en la conclusi�n, pero que aparece en ambas premisas (al que llamaremos medio). �C�mo clasificar estas combinaciones? En primer lugar, en figuras.

La primera figura se da cuando el sujeto de la conclusi�n es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusi�n es predicado de otra premisa y el concepto medio es predicado de una premisa y sujeto de otra.

Ejemplo:

todo A es B

todo B es C

----------------

todo A es C

La formulaci�n aristot�lica original de la ley de este ejemplo es la siguiente:

Si A se predica de todo B y B se predica de todo C, entonces necesariamente A se predica de todo C (Anal�ticos anteriores, I, 26 a 37)

Cuatro son las combinaciones de la primera figura que Arist�teles reconoce expl�citamente como implicaciones, como silogismos, y �stas son sus correspondientes leyes l�gicas:

(1.1) Si todo A es B y todo B es C, entonces todo A es C

(1.2) Si todo A es B y ning�n B es C, entonces ning�n A es C

(1.3) Si alg�n A es B y todo B es C, entonces alg�n A es C

(1.4) Si alg�n A es B y ning�n B es C, entonces alg�n A no es C

La segunda figura se da cuando el sujeto de la conclusi�n es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusi�n es sujeto de la otra premisa y el concepto medio es predicado de ambas premisas. Tambi�n en esta figura reconoce Arist�teles cuatro combinaciones como dando lugar a la implicaci�n de la conclusi�n por las premisas, como silogismos.

(2.1) Si todo A es B y ning�n C es B, entonces ning�n A es C

(2.2) Si ning�n A es B y todo C es B, entonces ning�n A es C

(2.3) Si alg�n A es B y ning�n C es B, entonces alg�n A no es C

(2.4) Si alg�n A no es B y todo C es B, entonces alg�n A no es C

La tercera figura se da cuando el sujeto de la conclusi�n es predicado de una premisa, el predicado de la conclusi�n es predicado de la otra premisa y el concepto medio es el sujeto de ambas. En esta tercera figura reconoce Arist�teles seis combinaciones en las cuales las premisas implican la conclusi�n, seis silogismos:

(3.1) Si todo B es A y alg�n B es C, entonces alg�n a es C

(3.2) Si todo B es A y alg�n B no es C, entonces alg�n A no es C

(3.3) Si alg�n B es A y todo B es C, entonces alg�n A es C

(3.4) Si alg�n B es A y ning�n B es C, entonces alg�n A no es C

(3.5) Si todo B es A y todo B es C, entonces alg�n A es C

(3.6) Si todo B es A y ning�n B es C, entonces alg�n A no es C

Llamo silogismo perfecto al que no necesita nada fuera de lo puesto en las premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusi�n. Llamo silogismo imperfecto al que [para hacer evidente la necesidad de la conclusi�n] necesita de una o varias cosas que no aparecen expl�citamente en las premisas, aunque se siguen necesariamente de ellas (Anal�ticos anteriores, I, 24 b 22)

Un silogismo perfecto es evidentemente v�lido. Un silogismo imperfecto es igualmente v�lido, pero su validez no es evidente, sino que ha de ser mostrada con ayuda de un silogismo perfecto. Arist�teles elige como axiomas de la silog�stica a los silogismos de la primera figura, por ser �stos los �nicos perfectos y evidentes.

�Por qu� son evidentes los silogismos de la primera figura? Porque en esta figura y s�lo en ella: 1) la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza la segunda, lo que facilita la intelecci�n; 2) el concepto medio ocupa efectivamente el puesto medio, lo que evidencia su papel mediador; 3) el primer y �ltimo conceptos del antecedente (o uni�n de las dos premisas) son el primer y �ltimo conceptos del consiguiente (o conclusi�n). Adem�s, en el primer silogismo de la primera figura, que es el m�s evidente de todos, el concepto sujeto de la conclusi�n o concepto menor tiene una extensi�n menor que el concepto medio, que tiene una extensi�n intermedia entre los otros dos y, por tanto, menor que la del concepto predicado de la conclusi�n o concepto mayor.

Los silogismos de las figuras segunda y tercera son v�lidos, pero su validez no es evidente, sino que s�lo se patentiza reduci�ndolos a los de la primera figura.

1.1.4 Silogismos: premisas y validez

Arist�teles parte del principio que �toda doctrina o disciplina deriva de un conocimiento preexistente�. Para que el silogismo concluya necesariamente, las premisas de donde deriva deben tambi�n ser necesarias. Y para ser tales, han de ser, en s� mismas, principios verdaderos, absolutamente primeros e inmediatos; y respecto a la conclusi�n, m�s cognoscibles, anteriores a la conclusi�n y causas de ella. �Inmediatos� quiere decir que son indemostrables, como evidentes por s� mismos, ya que si no fueran tales, ser�an principios de los principios y as� sucesivamente hasta el infinito. Algunos de estos principios son comunes a todas las ciencias, otros son principios de cada ciencia. Los principios, sobre todos los principios propios, seg�n Arist�teles, no son sino definiciones y las definiciones son posibles s�lo de la sustancia o de la esencia necesaria. La validez de los principios en que se funda la ciencia, consiste, pues, en ser ellos expresi�n de la sustancia, o mejor a�n, del g�nero de sustancias sobre las que versa una ciencia particular; y como la sustancia es causa de todas sus propiedades y determinaciones como los principios son causa de las conclusiones que el silogismo deriva de ellos, todo el conocimiento es conocimiento de causas.

1.1.5 La inducci�n y la deducci�n

La inducci�n, seg�n Arist�teles, es una deducci�n que, en lugar de deducir un extremo de otro mediante el t�rmino medio, como hace el silogismo, deduce el t�rmino medio de un extremo, vali�ndose del otro externo. Por ejemplo, despu�s de haber constatado que el hombre, el caballo y el mulo (primer t�rmino) son animales sin bilis (t�rmino medio) y que el hombre, el caballo y el mulo son longevos (segundo t�rmino), deduce que todos los animales sin bilis son longevos; en cuya conclusi�n aparece el t�rmino medio y un extremo. El �ser sin bilis� es, en este caso, el t�rmino medio porque es la raz�n o la causa por la que el hombre, el caballo y el mulo son longevos. La inducci�n es v�lida si y s�lo si se agotan todos los casos posibles. De ah� que la inducci�n sea de uso limitado y no pueda suplantar al silogismo deductivo, aunque para el hombre es un procedimiento m�s f�cil y claro. Por eso afirma Arist�teles que la inducci�n puede usarse, no en la ciencia, sino en la dial�ctica y en la oratoria, es decir, como instrumento de ejercicio o persuasi�n.

Los estoicos

Mediante el t�rmino l�gica los estoicos expresaban la doctrina que tiene por objeto los l�goi, o discursos. Como ciencia de los dicusos continuos, la l�gica es ret�rica; como ciencia de los discursos divididos en preguntas y respuetas, la l�gica es dial�ctica. La dial�ctica se define como �la ciencia de lo que es verdadero y de lo que es falso y de lo que no es ni verdadero ni falso�. Con la expresi�n �lo que no es ni verdadero ni falso� los estoicos probablemente entend�an los sofismas o las paradojas, sobre cuya verdad o falsedad no se puede decidir. A su vez, la dial�ctica estoica se divide en cuatro partes, seg�n trate de las palabras o de las cosas que significan las palabras: la que trata de las palabras es la gram�tica; la que trata de las cosas significadas es la l�gica en sentido propio: por lo tanto, �sta tiene por objeto las representaciones, las proposiciones, los razonamientos y los sofismas.

Los meg�ricos y los estoicos fueron los primeros en estudiar la l�gica de enunciados, esto es, las relaciones entre enunciados unidos por part�culas como �y�, �o�, �si � entonces�, etc. Los meg�rico-estoicos se interesaron por los razonamientos que tienen la forma de argumento y no de una implicaci�n, esto es, de series de premisas distintas afirmadas y una conclusi�n derivada de ellas, en vez de enunciados-premisas condicionales que implican un enunciado-conclusi�n. Pero lo m�s fundamental es que esta l�gica investigaba la l�gica de las part�culas conectivas entre los enunciados. Los estoicos establecieron algunas leyes l�gicas, como el Modus Ponens (si p entonces q, y p, por tanto q), el Modus Tollens (si p entonces q, y no q, por tanto no p) el silogismo disyuntivo (p o q, y no p, por tanto q), etc., aunque ellos los entendieron como reglas de inferencia.

1.2.1. El criterio de verdad

El problema fundamental de la l�gica estoica es el del criterio de la verdad. Seg�n todos los estoicos, el criterio de la verdad es la representaci�n catal�ptica o conceptual. Dos interpretaciones son posibles del significado de esta expresi�n. En primer lugar, la fantas�a puede consistir en la acci�n del intelecto que se apodera y comprende el objeto. En segundo lugar, puede ser la representaci�n impresa en el entendimiento por el objeto, esto es, la acci�n del objeto sobre el entendimiento. Para Sexto Emp�rico la representaci�n catal�ptica es la que viene del objeto real y es impresa y marcada por �l en conformidad consigo mismo, de modo que no podr�a nacer de un objeto diverso. Zen�n pon�a el significado de la representaci�n catal�ptica en su capacidad de alcanzar y comprender el objeto. �l comparaba la mano abierta y los dedos extendidos a la representaci�npura y simple; la mano contrad�a que hace acto de coger, al asentimiento; la mano cerrada en pu�o, a la comprensi�n catal�ptica. En fin, las dos manos apretadas una sobre otra, con gran fuerza, eran el s�mbolo de la ciencia, la cual proporciona la verdadera y completa posesi�n del objeto.

1.2.2 El asentimiento y la epoch�

Si el recibir una representaci�n determinada, por ejemplo, ver el color blanco, no est� en el poder del que lo recibe, porque depende del objeto del cual se origina la sensaci�n, el asentir a tal representaci�n es, en cambio, un acto libre. El asentimiento constituye el juicio; el cual se define precisamente o bien como asentimientoo como disconformidad o como suspensi�n, esto es, renuncia provisional al asentimiento de la representaci�n recibida o a disentir de la misma. Seg�n Sexto Emp�rico, los estoicos posteriores pusieron el criterio de la verdad, no en la simple representaci�n catal�ptica, sino en la representaci�n catal�ptica �que no tenga nada contra s�; porque puede darse el caso de representaciones catal�pticas que no sean dignas de asentimiento por las circunstancias en que son recibidas. De esto se deriva que la representaci�n catal�ptica es la que est� dotada de evidencia no contradicha, tal que solicite con gran fuerza al hombre a prestar su asentimiento, el cual, con todo, es libre. Consecuentemente, defin�an la ciencia como una representaci�n catal�ptica o un h�bito inmutable para aceptar tales representaciones, acompa�adas de razonamiento y afirmaban que no hay ciencia sin dial�ctica, siendo propio de la dial�ctica presidir los razonamientos.

1.2.3 El nominalismo estoico

Los conceptos no tienen para los estoicos ninguna realidad objetiva: lo real es siempre individual y el universal subsiste solamente en las anticipaciones o en los conceptos. El estoicismo es, pues, un nominalismo. Los conceptos m�s generales, las categor�as, son reducidos por los estoicos a cuatro: 1) el sustrato o sustancia; 2) la cualidad; 3) el modo de ser; 4) el modo relativo. Estas cuatro categor�as est�n entre s� en una relaci�n tal que la siguiente encierra la precedente y la determina. De hecho, nada puede tener un car�cter relativo, si no tiene un modo de ser; no puede tener un modo de ser, si no tiene una cualidad fundamental que lo diferencia de los dem�s; y no puede tener esta cualidad si no subsiste por s�, y es sustancia.

El concepto m�s alto y m�s amplio es el concepto de ser; por cuanto todo en cierto modo es, y no hay, por tanto, un concepto m�s extenso que �ste. El concepto m�s determinado, en cambio, es el de especie, que no tiene otra especie debajo de s�, esto es, el individuo, por ejemplo, de S�crates.

1.2.4 La proposici�n y el razonamiento

La parte de la l�gica estoica que ha ejercido mayor influencia en el desarrollo de la l�gica medieval y moderna es la que concierne a la proposici�n y al razonamiento. Como fundamento de esta parte de su doctrina, los estoicos pusieron la teor�a del significado.

Tres son los elementos que se coligan: el significado, lo que significa y lo que es. Lo que significa es la voz, por ejemplo, �Dios�. El significado es la cosa se�alada por la voz y a la que nosotros unimos pensando en la cosa correspondiente. Lo que es, es el sujeto externo, por ejemplo, el mismo Dios (Sexto Emp�rico, Adv. Math., VIII, 12)

De estos tres elementos conexos, dos son corp�reos, la voz y lo que es; uno es incorp�reo, el significado mismo. El significado es aquella funci�n o representaci�n o concepto que nos viene a la mente cuando o�mos una palabra y que nos permite referir la palabra a una cosa determinada. El concepto �animal racional� es el significado que permite la referencia de las palabras al objeto existente. Este concepto sirve de camino entre la palabra (y en general, la expresi�n verbal) y la cosa real o corp�rea, orientada de esta manera la referencia al objeto de las expresiones ling��sticas que de otra manera ser�an puros sonidos, incapaces de toda conexi�n con las cosas. Por lo tanto, la referencia a la cosa es parte integrante del significado o, por lo menos, es un aspecto �ntimamente unido a ella, pues la informaci�n en que consiste el significado no tiene m�s funci�n que la de hacer posible y orientar tal referencia. En la l�gica medieval y moderna, lo que los estoicos llamaban significado ha sido expresado con otros nombres como connotaci�n, intensi�n, comprensi�n, mientras que la referencia ha sido llamada suposici�n, denotaci�n, extensi�n, significado.

Seg�n los estoicos, un significado es completo si puede expresarse en una frase. Por lo tanto, s�lo la proposici�n es un significado completo.

El razonamiento consiste en una conexi�n entre proposiciones simples del tipo siguiente: �si es de noche, hay tinieblas; pero es de noche, luego hay tinieblas�. Este tipo de razonamiento no tiene nada de com�n con el silogismo aristot�lico, pues le faltan sus caracteres fundamentales: es inmediato (no tiene t�rmino medio) y no es necesario. La falta de estos caracteres permite que los estoicos distingan la concluyencia de un razonamiento de su verdad. El razonamientos antes expuesto es verdadero s�lo si es de noche, pero es falso si es de d�a. Sin embargo, es concluyente en todo caso, porque la conexi�n de las premisas con la conclusi�n es correcta. Los tipos fundamentales de los razonamientos concluyentes los llaman los estoicos apod�cticos o razonamientos no demostrativos. Son evidentes por s� mismos y son los siguientes: 1�) Si es de d�a hay luz. Pero es de d�a. Luego hay luz (A � B; A; B [MP]); 2�) Si es de d�a hay luz. Pero no hay luz. Luego no es de d�a (A �B; �B; �A [MT]); 3�) Si no es de d�a, es de noche. Pero es de d�a. Luego no es de noche (�A �B; A; �B); 4�) O es de d�a o es de noche. Pero es de d�a. Luego no es de noche (A �B; A; �B [SD1]); 5�) O es de d�a o es de noche. Pero no es de noche. Luego es de d�a (A �B; �B; A [SD2]). Estos esquemas de razonamientos son siempre v�lidos, pero no siempre son verdaderos, ya que son verdaderos solamente cuando la premisa es verdadera, es decir, corresponde a la situaci�n de hecho. Sobre ellos se modelan los razonamientos demostrativos, que no s�lo son concluyentes, sino que adem�s manifiestan algo que antes era �oscuro�: o sea, algo que no es inmediatamente manifiesto a la representaci�n catal�ptica que se ve siempre limitada al aqu�y ahora. El razonamiento demostrativo lo llaman los estoicos un signo indicativo por cuanto permite poner en claro que antes era oscuro. En cambio, son signos rememorativos aquellos que, en cuanto se presentan, hacen evidente el recuerdo de la cosa que primero ha sido observada en conexi�n con ellos y ahora no es manifiesta.

Uno de los temas m�s debatidos fue la l�gica de los condicionales. Dos fueron las interpretaciones principales que se dieron acerca de las condiciones de verdad de los condicionales. Seg�n Fil�n de Megara, los enunciados del tipo �si � entonces� s�lo son falsos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso; en todos los dem�s casos es verdadero. Este condicional fue denominado por Russell implicaci�n material, y es el usado normalmente en l�gica desde Frege.

Por contra, seg�n Diodoro de Cronos, para que un enunciado condicional sea verdadero es menester, no meramente que no sea �en ese instante� el antecedente verdadero y el consecuente falso, sino que nunca sea el antecedente verdadero y el consecuente falso. De este modo, �si es de d�a entonces es de noche� es siempre falso, independientemente de cuando se emita. Como para Diodoro la verdad del condicional s�lo se da si constituye una implicaci�n material siempre verdadera, podemos llamarlo implicaci�n material permanente. Hubo incluso quienes pensaban que s�lo tiene sentido considerar a un condicional verdadero cuando se da alg�n tipo de relaci�n entre el contenido del antecedente y el del consecuente, de modo que no sea posible que siendo el antecedente verdadero el consecuente sea falso. Esto es lo que en este siglo C.I. Lewis ha denominado implicaci�n estricta. Este es el tipo de implicaci�n que se da para Arist�teles entre las premisas y la conclusi�n de un razonamiento, de modo que el que las premisas de un razonamiento sean falsas no basta para justificar la validez del razonamiento, sino que es menester que si las premisas fueran verdaderas, la conclusi�n necesariamente lo ser�a. En suma, s�lo en la implicaci�n estricta el consecuente es deducible del antecedente.

2. Del medievo al �lgebra l�gica

La l�gica medieval, �entendiendo por tal la que se desarrolla en el occidente cristiano durante la Edad Media, del s. XI al XV-, es heredera de la l�gica griega y, en especial, de la silog�stica aristot�lica. A.N. Prior destaca cuatro aportaciones nuevas y fundamentales de la Escol�stica: (1) una teor�a general de la referencia (suppositio terminorum), (2) una teor�a general de la implicaci�n (consequentia), (3) un desarrollo de la l�gica de las modalidades, y (4) el tratamiento de paradojas y problemas l�gicos del lenguaje. El primer tratado medieval de l�gica es la Dial�ctica, de Alcuino, obra escrita en forma de di�logo para ser utilizada en el trivium, base de la ense�anza elemental medieval, que Alcuino restaura a iniciativa del emperador Carlomagno. Durante un largo per�odo de tiempo, la l�gica queda relegada a estas nociones elementales de las artes liberales. La aparici�n de los �dial�cticos� del s. XI y las primeras discusiones sobre la naturaleza de los universales renuevan el inter�s por la l�gica y su relaci�n con la gram�tica. El primer l�gico medieval importante es Pedro Abelardo. Sus obras de mayor inter�s son la Dial�ctica, en la que reelabora la herencia l�gica dejada por Boecio, y Sic et Non, en la que introduce uno de los procedimientos m�s caracter�sticos del estudio de las cuestiones en la Escol�stica. A partir de la segunda mitad del s. XII, se conocen ya en occidente el resto de obras l�gicas de Arist�teles; la l�gica basada en estas nuevas obras se conoci� con el nombre de ars nova, o �nueva l�gica�, la usada ya en las universidades del s. XIII. La doble direcci�n en el estudio de la l�gica que existi� en �stas �por un lado, el estudio m�s formal de la l�gica desarrollado con cierta libertad e independencia por las facultades de artes, basado en las primeras obras conocidas del Organon aristot�lico, m�s Anal�ticos primeros, T�picos y Elencos sof�sticos, y por otra, un estudio de la l�gica en consonancia con la metaf�sica aristot�lica y Anal�ticos segundos, llevado a cabo por las facultades de teolog�a, m�s fieles al pensamiento aristot�lico- dio origen a la l�gica antiqua, de las facultades teol�gicas, y a la l�gica moderna, de las facultades de artes. El autor m�s representativo de esta l�gica moderna es Pedro Hispano; sus obras de l�gica, Summulae Logicales, fueron los manuales usuales durante los siglos XIV y XV, con m�s de 150 ediciones. A finales del s. XIII, la l�gica moderna se instala en Oxford, donde consigue sus momentos m�s �lgidos con Roberto Kilwarby, Juan Duns Escoto (aunque los tratados l�gicos se atribuyen a un Pseudo-Escoto) y, sobre todo, Guillermo de Occam. La doctrina sobre las consecuencias, desarrollada de un modo especial durante esta �poca, representa una de las influencias de la l�gica estoica sobre la medieval. �Consecuencia� es, para los medievales, un condicional o un argumento con la part�cula �ergo� uniendo enunciados. Se discute intensamente cu�les son las condiciones de verdad tanto de los condicionales como de estos argumentos y se escriben al respecto tratados titulados De Consequentiis. Tales tratados, aunque no eran independientes de la l�gica aristot�lica, recogen algunas de las leyes fundamentales de la l�gica de enunciados. Se a�ade la teor�a de la suppositio, o de la significaci�n de un mismo t�rmino seg�n el lugar que ocupa en un enunciado. Estas teor�as guardan relaci�n con la teor�a moderna de la cuantificaci�n.

2.1 Boecio y el �cuadrado l�gico de la oposici�n� de las proposiciones categ�ricas

En De philosophia rationali Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro proposiciones cl�sicas, que se dividen en universales, particulares, singulares e indefinidas. Una proposici�n es universal cuando el predicado es atribuido o negado con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto: �todos los hombres (o: ning�n hombre) son fil�sofos�. Tenemos una proposici�n singular cuando el predicado se afirma o se niega de un solo individuo: �Juan es fil�sofo�. Una proposici�n particular es aquella en la que el predicado se atribuye o se niega s�lo de algunos de los entes abarcados por el sujeto: �algunos hombres son fil�sofos�. En la proposici�n indefinida el predicado se atribuye o se niega de un sujeto, pero sin precisas a cu�ntos individuos se hace referencia: �el tren corre�. Apuleyo, al tratar y analizar todas estas proposiciones, afirma que es conveniente presentarlas en quadrata formula, y las dispone de esta manera de conformidad con el siguiente cuadro:

En este cuadro aparecen las contradictorias (alterutrae), las contrarias (incongruae) y las subcontrarias (suppares). Faltan las subalternas.

Boecio vuelve a tomar el cuadrado l�gico de Apuleyo, pero lo completa con la subalternaci�n. Habla de proposiciones contradictoriae, contrariae, subcontrariae y subalternae. Introduce asimismo t�rminos como �sujeto�, �predicado� y �contingente�. El cuadrado l�gico completado y estructurado por Boecio se presenta del siguiente modo:

M�s tarde los medievales indicar�n mediante letras las cuatro proposiciones cl�sicas (v�ase Pedro Hispano). Colocando de manera oportuna las formas normales de las proposiciones categ�ricas, se obtiene el cl�sico cuadrado de la oposici�n:

donde A y E son una verdadera y la otra falsa, no pueden ser ambas verdaderas, pero pueden ser ambas falsas; A, O y E, I siempre son una verdadera y otra falsa, y no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas; I y O resultan implicadas, respectivamente, por A y E.

Este cuadrado no fue concebido como un juego elegante, sino que se consider� que las relaciones l�gicas ilustradas mediante el presente diagrama proporcionaban una base l�gica que garantizaba la validez de ciertas formas elementales de razonamiento. �stas eran las que concern�an a las inferencias inmediatas, esto es, aquellas inferencias en las que la conclusi�n surge inmediatamente de la premisa, sin mediaci�n de una segunda premisa. As�, un silogismo es una inferencia mediata, mientras que la inferencia: �todos los hombres son justos y, por eso, alg�n hombre es justo� es inmediata. El cuadrado tradicional nos ofrece la base l�gica para un n�mero considerable de inferencias inmediatas de este tipo, que pueden enumerarse as�:

• Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa
• Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa, O es verdadera
• Si I es verdadera: E es falsa, A y O son indeterminadas
• Si O es verdadera: A es falsa, E e I son indeterminadas
• Si A es falsa: O es verdadera, E e I son indeterminadas
• Si E es falsa: I es verdadera, A y O son indeterminadas
• Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera
• Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa, I es verdadera

Otros tipos de inferencias son aquellos que se obtienen por conversi�n, por obversi�n y por contraposici�n. La conversi�n se realiza mediante el intercambio de las respectivas proposiciones de los t�rminos del sujeto y del predicado de una proposici�n. En este caso, se trata de la conversio simplex y se aplica a E y a I; O no tiene proposici�n conversa, y A la tiene per accidens: adem�s de cambiar la posici�n de los t�rminos, es preciso cambiar tambi�n la cantidad de la proposici�n, de universal a particular. Por ejemplo: la conversa de �todos los perros son animales� es �algunos animales no son perros�. Se produce obversi�n cuando el t�rmino-sujeto permanece incambiado, y tambi�n permanece incambiada la cantidad de la proposici�n que se desea obvertir, pero se cambia la cualidad, sustituyendo el t�rmino-predicado por su complemento.

La obversi�n se aplica a los cuatro tipos de proposiciones categ�ricas. Estamos ante una contraposici�n cuando en una proposici�n categ�rica se sustituye su t�rmino-sujeto por el complemento de su t�rmino predicado y, al mismo tiempo, su t�rmino-predicado se sustituye por el complemento de su t�rmino-sujeto. La contraposici�n se aplica a A y a O; I no tiene proposici�n contrapuesta, y E s�lo la tiene per accidens. Pueden resumirse as� estos tipos de inferencias inmediatas:

Para Boecio las proposiciones hipot�ticas son m�s generales que las categ�ricas: es posible expresar una proposici�n categ�rica a trav�s de una proposici�n hipot�tica, pero no es posible llevar a cabo la operaci�n inversa. Distingue entre dos tipos de proposiciones hipot�ticas: el primer tipo se da cuando el consecuente est� vinculado al antecedente de una manera accidental; en el segundo tipo, el consecuente es una consecuencia natural del antecedente. Por ejemplo, al decir �si el fuego es c�lido, el cielo es redondo�, no pretendemos afirmar que el cielo es redondo porque el fuego sea c�lido, sino sencillamente que al mismo tiempo que el fuego es c�lido, el cielo es redondo.

2.2 Pedro Hispano

En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales, palabras y versos mnemot�cnicos que luego se emplearon corrientemente en la ense�anza de la l�gica. As�, por ejemplo, se indica con la A la proposici�n universal afirmativa, con la E la universal negativa, con la I la particular afirmativa y con la O la particular negativa, con arreglo a los siguientes versos:

I firmat, negat O, sed particulariter ambae.

>Para indicar las figuras y los modos del silogismo emplea las palabras mnem�nicas Barbara, Celarent, Darii, Ferio, etc., cuyas vocales indican la cantidad y la cualidad de las proposiciones que constituyen las premisas y conclusiones del silogismo.

En el libro 7 de esta obra incluye la l�gica terminalista. Las propiedades de los t�rminos son la suposici�n, la ampliaci�n, la restricci�n, la apelaci�n, la distribuci�n. Pero la m�s importante de todas ellas es la suposici�n. La suposici�n se distingue de la significaci�n en que, a diferencia de �sta, es propia no del t�rmino aislado sino del t�rmino en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensi�n sem�ntica.

La suposici�n y la significaci�n difieren en que la significaci�n es la imposici�n de una voz a la cosa significada mientras que la suposici�n es la acepci�n del mismo t�rmino ya significante para cualquier otra cosa; por ejemplo, cuando se dice �el hombre corre� este t�rmino �hombre� alude a S�crates, a Plat�n, o cualquier otro. La significaci�n es antes que la suposici�n, pero no son id�nticas ya que el significar es propio de la voz y el suponer lo es del t�rmino ya compuesto de voz y significaci�n (Summulae, 6, 03).

Distingue entre suposici�n simple y suposici�n personal. Existe suposici�n simple cuando el t�rmino com�n se emplea para la cosa universal que el mismo representa, como cuando se dice �el hombre es una especie�: en cuya proposici�n el t�rmino �hombre� est� en lugar del hombre en general y no por un individuo humano determinado. En cambio, hay suposici�n personal cuando el t�rmino com�n est� en lugar de los individuos comprendidos por el mismo, como en la proposici�n �el hombre corre�, donde el t�rmino hombre est� en lugar de los individuos humanos, o sea, en lugar de S�crates, de Plat�n y de otros.

2.3 De Llull a Leibniz

En la Edad Media, el uso de la disputatio como ejercicio escolar produjo un desarrollo del arte de discutir, es decir, de la dial�ctica propiamente dicha, y un estudio m�s intenso de la sof�stica; de ah� se derivaron an�lisis m�s detallados sobre las relaciones entre proposiciones y sobre el sentido de los t�rminos. Por eso los l�gicos componen tratados que dan las reglas a seguir en las disputationes, pero cuyo sentido en la historia de la l�gica es sin duda m�s importante.

Junto a los tratados sobre las disputationes, se encuentran los tratados �sobre las controversias�, que estudian las inferencias entre proposiciones simples y compuestas y los sophismata. Un sophisma no es un sofisma, o por lo menos no lo es necesariamente (como la fallacia); es una proposici�n que contiene alguna dificultad, debido a una falta o a una ambig�edad de construcci�n, o a cualquier otra raz�n; esa proposici�n es estudiada por s� misma, y en la pr�ctica escolar sirve de ocasi�n, en muchos casos, para que el maestro desarrolle un punto particular de la disciplina que ense�a. Casos particulares de sophismatason: los �insolubles�, o proposiciones que, tomadas al pie de la letra, se contradicen (como �yo digo mentira�); los �imposibles�, en los que la contradicci�n no se solventa por una simple distinci�n l�gica, como ocurre en el caso de los �insolubles�.

Adem�s de la teor�a de las consecuencias, los l�gicos se ocuparon tambi�n de los t�rminos y de sus relaciones en la proposici�n. Enumeraron y analizaron palabras tales como cada, todo, y, o, no...; su caracter�stica com�n es que no significan por s� mismas, sino que tienen que unirse a t�rminos dotados de una significaci�n propia o �categorema�; de ah� proviene su nombre, que es �sincategoremas�.

Otro concepto importante es el de �suposici�n�; se llama as� a la acepci�n en que es tomado un nombre. Por ejemplo, en la frase �el hombre es animal�, la palabra hombre �supone por� una especie; en el �hombre corre�, por un individuo; en el �hombre es sustantivo�, por una palabra. Con la suposici�n hay que relacionar la �copulaci�n�, que afecta del mismo modo al predicado. Queda a�n la �amplificaci�n�, caso en que un nombre es empleado para designar no s�lo los objetos presentes, sino tambi�n los pasados, futuros y posibles: esto afecta necesariamente al sentido de la proposici�n en que se encuentra.

Lo que los l�gicos medievales pretend�an, en realidad, era estudiar el �nico instrumento de razonamiento de que se dispon�a: la lengua latina. Los l�gicos construyeron un �lgebra del lenguaje y se esforzaron mucho por disipar sus ambig�edades y extraer las reglas de su uso exacto.

2.3.1 Raimundo Lulio

Entre estos l�gicos medievales destaca Ram�n Llull. Llull piensa que el ser de las criaturas es como una imitaci�n de Dios, y la naturaleza es como un libro en el que pueden leerse los designios de la divinidad. Pero para captar el orden divino deben establecerse unos principios generales. Dichos principios generales �que son los que estaban en la base de su Ars�, eran elementos simples a los que se reducen todas las proposiciones y, debidamente combinados, deb�an hacer posible una presentaci�n unitaria, rigurosa y encadenada de todo el saber.

Llull menciona dieciocho principios generales. De ellos, nueve son los atributos divinos, que se obtienen a partir de maximizar en grado supremo las perfecciones de los seres creados: bondad, eternidad, grandeza, poder, voluntad, virtud, sabidur�a, verdad y gloria. Los otros nueve se�alan las relaciones entre los seres creados y contingentes: principio, medio, fin, contrariedad, diferencia, concordancia, minor�a, igualdad y mayor�a. Cada uno de estos elementos es representado por letras o por otros s�mbolos, y los combina entre s�, de manera m�vil, en c�rculos conc�ntricos. Los diversos razonamientos para solventar todos los problemas (tanto de la religi�n como de las ciencias) surg�an de todas las combinaciones posibles. Llull proyect� una especie de m�quina con ruedas de conceptos, una especie de precursora de las computadoras, capaz de combinar y clasificar todos los conceptos, de manera que se pudiera discutir y razonar sin errores. Recurri� a diagramas, tablas, c�rculos gr�ficos y c�rculos conc�ntricos m�viles (el m�s complejo de estos instrumentos es denominado figura univeralis, que posee catorce c�rculos conc�ntricos), dispuestos de modo que, a partir de los conceptos fundamentales, fuera posible hallar conceptos nuevos as� como razonar acerca de ellos sin error. Cre�a, por tanto, en un fundamento l�gico y racional universal, a manera de un c�lculo, v�lido para todas las verdades, incluidas las de la religi�n.

Esto es posible, pensaba, porque hay un �nico fundamento racional, que afecta tambi�n a las verdades de la fe que, de esta manera, pueden demostrarse por deducci�n l�gica. En tanto que los principios generales o elementos simples son el fundamento de todo lo real, para Llull hay una coincidencia entre l�gica y ontolog�a, y el aut�ntico conocimiento es una visi�n m�stica en Dios.

La l�gica en la que se basaba era, fundamentalmente, la silog�stica de Arist�teles, que supone unos principios ciertos (que incluso los infieles han de aceptar), y consideraba que hab�a la posibilidad de encontrar todos los t�rminos medios posibles que unan cualquier sujeto con el predicado que le conviene. De esta manera, se podr�an enumerar todos los predicados posibles de un sujeto y determinar de acuerdo con las reglas l�gicas, cu�les le pertenec�an. Pensaba que as� incluso se podr�a demostrar l�gicamente el misterio de la Trinidad. De esta manera, aunque bas�ndose en la l�gica demostrativa de Arist�teles, Ram�n Llull la conceb�a como una l�gica capaz de ser inventiva, que no se limita a resolver las verdades conocidas, sino que es capaz de descubrir las nuevas. Adem�s de este c�lculo general, que influy� decisivamente en Leibniz (y que, por intermedio de �ste, se puede considerar un precedente de la l�gica moderna), Llull defendi� tambi�n una metaf�sica ejemplarista y un realismo neoplat�nico, muy influido por el agustinismo que imperaba entre los franciscanos a los que Llull estaba pr�ximo.

No obstante, en Llull se trata de poco m�s que de una idea visionaria. Fue Descartes quien concibi� la idea de un lenguaje general como una suerte de aritm�tica, como parte del m�todo de una filosof�a verdadera, si bien se cuid� de tratar �l mismo de constituir tal lenguaje y lo plante� como un proyecto para la posteridad.

2.3.2 Leibniz

Para Leibniz el saber conceptual se reducir� en �ltimo t�rmino a descubrir todas las combinaciones posibles de los primeros elementos primitivos y sus conexiones en este reino de las verdades esenciales. Ya a sus veinte a�os hab�a escrito sobre un g�nero de arte combinatoria, que tendr�a por cometido �hallar una especie de alfabeto de los conocimientos humanos, que permitiera, mediante la combinaci�n de sus letras y el an�lisis de las palabras compuestas de aqu�llas, descubrir y juzgar todo lo dem�s�.

Leibniz era un gran admirador de la silog�stica aristot�lica, aunque no cre�a que todos los argumentos pudiesen ponerse en forma de silogismo; por ejemplo, los argumentos por inversi�n de la relaci�n, como �Tito es m�s alto que Cayo. Por tanto, Cayo es m�s bajo que Tito�. Sin embargo, no lleg� a crear una l�gica de relaciones debido a que pensaba que �stas pod�an reducirse a conjunciones o concatenaciones de predicados mon�dicos. Sostuvo tambi�n que las figuras de los silogismos no son tres, sino cuatro, obteni�ndose entonces veinticuatro, y no catorce, formas de silogismo v�lidos.

En De arte combinatoria pens� en la creaci�n de una caracter�stica universalis o lenguaje simb�lico universal que fuese un instrumento de c�lculo del pensamiento. Su ideal era que las disputas y diferencias de opini�n se pudiesen resolver mediante el c�lculo. De acuerdo con eso, los disputantes se sentar�an, tomar�an sus plumas y dir�an: �Calculemus�. Quer�a adem�s crear una l�gica del descubrimiento o l�gica inventiva.

Leibniz ensay� varios c�lculos l�gicos: 1) trat� de simbolizar los conceptos mediante n�meros enteros, �aritmetizando� la l�gica, 2) utiliz� letras en lugar de n�meros, 3) elabor� un c�lculo de la inclusi�n, o sea, una l�gica intencional, y 4) esboz� un c�lculo con el concepto de sustracci�n (diferente del de negaci�n) de las comprensiones de los t�rminos.

De acuerdo con su tesis de que el concepto de predicado est� incluido en el concepto de sujeto, intent� elaborar una l�gica en que lo importante fuese la relaci�n conceptual entre el predicado y el sujeto, independientemente de la existencia o no existencia del objeto designado por el sujeto. �En las escuelas [i.e., en la escol�stica] hablan de otra manera, no considerando las nociones, sino ejemplos sujetos a nociones universales... En verdad, prefer� considerar las nociones universales o las ideas y sus compuestos, porque no dependen de la existencia de los individuos�. A la l�gica basada en esta idea se le ha llamado l�gica intensional.

En Algunas dificultades de la l�gica, Leibniz propone dos lecturas de las proposiciones categ�ricas. Son las siguientes:

En la versi�n de la segunda columna puede observarse que, dada la tesis de la contenci�n o inclusi�n del predicado en el sujeto, tanto A como el predicado B est�n incluidos en el sujeto A, es decir, AB � A; pero tambi�n podemos ver que A � AB, y esto se debe a que para Leibniz todo enunciado o proposici�n, tanto de raz�n como de hecho, afirma en el fondo una identidad (o su negaci�n). Si la identidad es una verdad de raz�n, �sta se demuestra en un n�mero finito de pasos; si es una verdad de hecho, se necesita, para su demostraci�n por parte de nosotros (no de Dios), un �an�lisis infinito�, es decir, una aproximaci�n continua e interminable a una identidad que s�lo es vista por la mente divina. La versi�n de la tercera columna muestra que todas las oraciones de sujeto-predicado, unidas por la c�pula (llamadas oraciones de tercer adyacente) son equivalentes a oraciones en que el sujeto es la uni�n del sujeto y predicado, del cual se predica la entidad o la no entidad (oraciones de segundo adyacente).

2.4 La l�gica de Port-Royal

Los l�gicos de Port-Royal no conciben la l�gica como una ciencia, sino como un arte: el arte que ense�a no a combinar palabras y f�rmulas, sino a pensar correctamente. As�, la l�gica tiene que convertirse en un instrumento adecuado para servir a las dem�s ciencias. Por consiguiente, es in�til perder el tiempo con silogismos elaborados mediante ejemplos del todo artificiosos. Si la ense�anza quiere ser no s�lo entretenida, sino tambi�n conseguir resultados valiosos y �tiles, debe basarse en ejemplos de razonamientos que se utilicen de modo efectivo en los diversos �mbitos del saber, la literatura y la vida. Adem�s, la l�gica escol�stica se propone ofrecernos las reglas de los razonamientos correctos, y su utilidad consiste sin duda en tales reglas. Sin embargo, �no debemos creer siquiera que tal utilidad vaya muy lejos, ya que la mayor parte de los errores humanos no consiste en verse enga�ados por consecuencias err�neas, sino en caer en juicios falsos, de los que se extraen consecuencias err�neas�. Los hombres, en suma, razonan en general de un modo correcto, es decir, no se enga�an al extraer determinadas consecuencias de las premisas; lo que ocurre es que a menudo juzgan equivocadamente, es decir, no saber establecer las premisas. En resumen: no es cuesti�n de correcci�n, sino que es problema de la verdad, por lo cual el arte de razonar (esto es, deducir consecuencias bas�ndose en premisas) debe estar precedido por el arte de pensar (el arte que ense�e a establecer premisas v�lidas).

El pensamiento asume la forma de lenguaje, pero el lenguaje no debe enclaustrar o distorsionar el pensamiento. La forma ling��stica no debe torcer o viciar las operaciones l�gicas. Y �la funci�n de la l�gica, arte de pensar, consiste justamente en poner en claro el aut�ntico pensamiento que se halla debajo de las apariencias de la forma verbal, ayud�ndonos a remontarnos desde la forma hasta el significado. �ste es el que debe permitir una interpretaci�n de la forma y no es la forma la que impone el significado�. La noci�n de un pensamiento que est� por debajo de las m�s diversas formas ling��sticas condujo a la concepci�n de una gram�tica general. La intenci�n espec�fica de dicha Gram�tica general es el llegar a aquellas estructuras fundamentales que rigen la mente humana en general, y que puede constatarse en el interior de las diferencias existentes entre las lenguas hist�ricas.

2.5 Kant: l�gica formal y l�gica trascendental

Para Kant la intuici�n y los conceptos constituyen los elementos de todos nuestros conocimientos, de manera que ni los conceptos, sin que les corresponda de alg�n modo una intuici�n, ni la intuici�n, sin los conceptos, pueden darnos un conocimiento. M�s a�n, ninguna de estas dos facultades debe anteponerse a la otra. Sin sensibilidad no se nos dar�a ning�n objeto y sin intelecto no podr�a pensarse ninguno. Los pensamientos sin contenido est�n vac�os; las intuiciones sin conceptos son ciegas. El intelecto no puede intuir nada y los sentimientos nada pueden pensar. El conocimiento s�lo puede surgir de su uni�n.

Kant distingue entre la ciencia de las leyes de la sensibilida den general �la est�tica� y la ciencia del intelecto en general �la l�gica. La l�gica se divide en a) l�gica general y b) l�gica trascendental.

La l�gica general prescinde de los contenidos y se limita a estudiar las leyes y los principios en general del pensamiento, sin los cuales no existir�a una utilizaci�n del intelecto. Esta es la c�lebre l�gica formal descubierta por Arist�teles y que, seg�n Kant, naci� casi perfecta, hasta el punto de que �no tuvo que dar ning�n paso atr�s� y se ha limitado a sufrir correcciones s�lo de detalle.

A Kant, en la Cr�tica de la raz�n pura no le interesa la l�gica formal, sino la trascendental, que no prescinde del contenido. �Cu�l ser� el contenido que la l�gica trascendental tiene por objeto, adem�s de las formas mismas del pensamiento? Kant distingue entre conceptos emp�ricos y conceptos puros; los emp�ricos son aquellos conceptos que contienen elementos sensibles; puros, en cambio, son aquellos que no est�n mezclados con ninguna sensaci�n.

2.6 El siglo XIX

Entre 1825 y 1900 el �lgebra y la geometr�a experimentaron grandes cambios, que hacia 1900 dieron lugar a una nueva concepci�n de la filosof�a de la matem�tica. Una ecuaci�n es un enunciado que establece que dos grupos de n�meros o de signos representativos de ellos son iguales. Hasta 1825 el �lgebra no era sino la teor�a de las ecuaciones. El fin de la teor�a era obtener un conocimiento del modo en que tales ecuaciones pod�an ser manipuladas para asignarles valores num�ricos que las hiciesen verdaderas, como tambi�n obtener un conocimiento de las condiciones que controlan la existencia entre esos valores num�ricos. Las cuatro operaciones b�sicas se efectuaban siguiendo un criterio m�s o menos intuitivo, seg�n los pasos que parec�an m�s �naturales�. Las reglas que las apoyaban continuaban en la oscuridad. No se pensaba que fuese necesario el establecimiento de tales reglas.

Peacock adelant� la idea de que el �lgebra es una ciencia deductiva como la geometr�a. Defend�a, primero, que todos los procesos del �lgebra habr�n de estar basados en un establecimiento completo del cuerpo de leyes que conciernen a las operaciones utilizadas en esos procesos, no pudi�ndose usar ninguna propiedad de una operaci�n si no ha sido puesto de manifiesto que tal propiedad pertenece a esa operaci�n, y no se ha establecido como una ley verdadera desde el comienzo o no ha sido obtenida por deducci�n a partir de las leyes iniciales. En segundo lugar, que los signos de las operaciones no tienen, a efectos deductivos, otros sentidos que aquellos que les han sido asignados por leyes.

En el siglo XIX tambi�n merece un lugar destacado la l�gica de Stuart Mill. Para Mill la l�gica es una elaboraci�n posterior de nuestras intuiciones sensibles. Pero no todo es percepci�n inmediata; �stas son ciertas y contra ellas no hay apelaci�n. Sin embargo, la mayor parte de nuestro saber lo obtenemos por deducciones. Despu�s de las observaciones particulares siempre queremos establecer leyes generales y conceptos. Y estas leyes implican siempre una conexi�n y dependencia entre un A y un B, C, etc. En A System of Logic, Rationative and Inductive establece las siguientes reglas:

1. M�todo de concordancia: si dos o m�s casos, en los que tiene lugar un fen�meno, tienen una �nica circunstancia com�n, �sta es causa o efecto de aquel fen�meno.

2. M�todo de diferencia: si dos casos contienen un fen�meno W siempre que se da la circunstancia A, y no la contienen si A falta, W depende de A.

3. M�todo combinado de concordancia y diferencia: si varios casos, en que est� presente A, contienen un fen�meno W, y otros casos, en que no est� presente A, no contiene W, A es condici�n de W.

4. M�todo de los residuos: si W depende de A = A1, A2, A3, mediante la comprobaci�n de las dependencias de A1 y A2, queda tambi�n comprobado en qu� grado depende W de A3.

5. M�todo de las variaciones concomitantes: si un fen�meno W cambia siempre que cambia otro (fen�meno U), de modo que todo aumento o disminuci�n de U va acompa�adio de un aumento o disminuci�n de W, W depende de U.

5.1 Boole

Probablemente puede considerarse El an�lisis matem�tico de la l�gica de Boole como el nacimiento de la l�gica matem�tica. Boole esta influido, adem�s de por las ideas de la l�gica cl�sica, por las de Hamilton y De Morgan, relativas a la teor�a que se basaba en el cambio de las cuatro formas de enunciado categ�rico (A, I, E y O) en un n�mero mayor en las cuales se toma en consideraci�n la cuantificaci�n del predicado. Por ejemplo, Hamilton advirti� dos tipos de enunciados universales: �Todo S es todo P� y �Todo S es alg�n P�. Si se tiene en cuenta tambi�n la cuantificaci�n de predicados, entonces todo enunciado de la forma sujeto-predicado puede transformarse en una ecuaci�n o en la enunciaci�n de que esa ecuaci�n es falsa, aproximando de este modo la l�gica al �lgebra.

En la teor�a de Hamilton y De Morgan, S y P se convierten en signos de las cosas mismas que poseen las cualidades (y no como signos de cualidades, tal como ocurr�a en Arist�teles). Este es el cambio de �todo S es P� a �todos los S son P� (p.e., de �toda hoja es verde� a �todas las hojas son verdes�). Este cambio de un enfoque intensional (en t�rminos de cualidades de las cosas) por uno extensional (en t�rminos de clases de objetos) permiti� una estricta matematizaci�n de la l�gica, y as� un avance m�s r�pido, pues los conceptos extensionales siempre poseen unos criterios de aplicaci�n m�s claros.

El nombre que se emplea en l�gica y matem�ticas para designar un grupo formado por todas las cosas que poseen una cierta propiedad es el de clase o conjunto, y de las cosas que poseen esa propiedad se dice que son elementos de la clase o del conjunto. Las ideas de clase y elemento son b�sicas en la matem�tica actual. El resultado de la teor�a de Hamilton y De Morgan fue posibilitar una concepci�n de la l�gica como un �lgebra de clases. Y Boole fue el primero en tener claramente esta concepci�n.

Boole da cuenta de la antigua l�gica como un �lgebra, mostrando c�mo los enunciados A, I, E y O pueden traducirse en forma de ecuaciones simples; c�mo las consecuencias necesarias de cualquiera de estos enunciados pueden obtenerse algebraicamente partiendo de su ecuaci�n correspondiente; c�mo la validez de un silogismo puede comprobarse convirtiendo el grupo de enunciados que lo integran en un sistema de ecuaciones simples y viendo si la ecuaci�n correspondiente a la conclusi�n puede ser obtenida algebraicamente a partir de las ecuaciones correspondientes a las premisas; y c�mo si se dan ciertos enunciados como premisas de un silogismo, pero sin especificar conclusi�n alguna, es posible obtener algebraicamente de ellos una conclusi�n necesaria partiendo de sus correspondientes ecuaciones.

Pero Boole expuso, adem�s, una teor�a de la l�gica de enunciados considerada como un �lgebra. Como su teor�a de la l�gica de enunciados fue, en cuanto a la forma, la misma que la del �lgebra de clases, fue el primero en ofrecer una teor�a unificada de la l�gica. De este modo, el �lgebra de Boole es como una teor�a con dos interpretaciones. As�, en �lgebra de clases �1� significa �todo�, esto es, la clase de todos los elementos posibles, �0� es �nada�, o sea, la clase que no tiene por elemento nada que sea elemento de �todo�, �x + y� es la clase cuyos elementos son las cosas de �todo� que son elementos de x o y de y, pero no de ambos; �x ( y� es la clase de elementos comunes a x e y. Pero esas cuatro f�rmulas significan respectivamente en l�gica de enunciados: �lo verdadero�, �lo falso�, que x es verdadero o y es verdadero, pero no ambos, y finalmente que x es verdadero e y es verdadero. Traducido a notaci�n actual tendr�amos, por ejemplo, expresiones de la l�gica de enunciados como �p � q�, �p � q� o �p � q� que tienen sus equivalentes en �lgebra de clases: �A >� B�, �A � B� o �A � B� respectivamente, y las leyes del �lgebra tienen su equivalente en leyes de la l�gica de enunciados.

6. La l�gica simb�lica

6.1 Gottlob Frege

El objetivo de Frege es fundamentar la aritm�tica y aclarar de una vez para siempre la naturaleza de los n�meros naturales. Tal objetivo se condensa en lo que se conoce como programa logicista en la fundamentaci�n de la matem�tica: reducir la aritm�tica a l�gica, es decir, derivar los conceptos de la aritm�tica de conceptos l�gicos y deducir los principios aritm�ticos de los principios l�gicos.

Admitido por todos los matem�ticos, a partir de 1872, que todos los conceptos de la matem�tica pueden reducirse a los de la aritm�tica y los de �sta a los n�meros naturales, Frege adopta sobre s� la tarea de derivar estos �ltimos por medios estrictamente l�gicos. Con ello lograr�a establecer que toda la matem�tica es reducible a la l�gica. Para esta labor tiene que cumplir dos objetivos: (1) precisar qu� entiende por l�gica y enumerar los conceptos l�gicos con los que poder definir los aritm�ticos; (2) demostrar que los teoremas aritm�ticos son derivables de los principios l�gicos mediante el �nico proceso v�lido, la deducci�n. Esto �ltimo obliga a especificar cu�les son los primeros principios l�gicos y cu�les son las reglas de inferencia. Y en vista de estos objetivos, Frege dar� un primer paso: construir una l�gica que le sea v�lida para su objetivo, una l�gica del pensamiento puro, alejada de la influencia de la gram�tica y del lenguaje usual, para lo que debe crear un simbolismo adecuado. Esta tarea ser� acometida en la Conceptograf�a y en las leyes f�sicas de la aritm�tica.

En la Conceptograf�a se�ala que existen dos tipos de juicios, los anal�ticos y los sint�ticos. Frege estima que los aritm�ticos son juicios anal�ticos, contra el sentir kantiano, pero entiende por juicio anal�tico aquel que puede derivarse, en forma estrictamente l�gica, de las definiciones. No se tiene en cuenta, aqu�, el contenido de dicho juicio, sino su derivabilidad. Explica, a continuaci�n que la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesi�n al de consecuencia l�gica, para proceder desde all� al concepto de n�mero. Para realizar esta tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado. Agregar� que una de las tareas de la filosof�a debe consistir en liberar el esp�ritu humano de los errores que, en cuanto al concepto, presenta el lenguaje ordinario. En particular, debe eliminarse la confusa terminolog�a entre �sujeto� y �predicado� en beneficio de �argumento� y �funci�n�. Para conseguir estos fines, dedica su atenci�n a construir un lenguaje de f�rmulas, a semejanza del aritm�tico, pero que permita un an�lisis l�gico del razonamiento matem�tico, del pensamiento puro.

Estos dos objetivos le llevan a dividir la Conceptograf�a en dos partes: en la primera dar� una descripci�n sem�ntica de los s�mbolos que emplea; en la segunda, realizar� una representaci�n sistem�tica, deductiva, de algunos juicios del pensamiento puro. En otras palabras, expone, en la primera parte, por vez primera, lo que hoy se conoce como l�gica de primer orden �que incluye la l�gica proposicional�. En el segundo apartado, aplicar� su Conceptograf�a para definir, por los medios estrictamente l�gicos, la noci�n de �sucesi�n�, y la de orden lineal o cadena, as� como mostrar que el principio de inducci�n completa puede describirse por medio de su Conceptograf�a.

La Conceptograf�a no es una mera b�squeda de un simbolismo m�s o menos arbitrario y que refleje el lenguaje ordinario; su objetivo es conseguir un c�lculo l�gico al estilo de lo preconizado por Leibniz pero que, adem�s, refleje el pensamiento puro; pues, para Frege, el signo es inseparable del contenido que representa. Seg�n Frege, lo primero es el concepto; lo segundo, el signo con el cual se representa el concepto. El hombre no crea los conceptos, los aprehende; el hombre no crea sistemas matem�ticos, sino que �stos preexisten conceptualmente al mismo; los contenidos conceptuales puros son independientes de que el hombre los perciba, imagine o piense. En l�gica, en matem�ticas, lo que importa es el pensamiento puro, no la g�nesis del mismo. Esta convicci�n lleva a Frege a oponerse a los m�todos de Boole, porque Boole parte en su labor de la construcci�n de un c�lculo formal que permite ulteriores interpretaciones distintas; para Frege ello equivale a partir del signo material para alcanzar el concepto. Y Frege insiste en que tales c�lculos, por su punto de partida, se mostrar�n impotentes para la expresi�n de los conceptos y relaciones estrictamente l�gicos.

Para Frege, lo primero es el contenido conceptual o de juicio; lo segundo, el signo con que pueden representarse tales contenidos o pensamientos. Y un contenido que no hace referencia, en momento alguno, a los aspectos psicol�gicos. Una proposici�n l�gica no es m�s que un signo compuesto con arreglo a una regla determinada; signo que posee un �sentido� que se mantendr� en cualquier lengua a la que se traduzca la proposici�n anterior. Y es este �sentido� el que Frege denomina pensamiento, independiente, por tanto, de la representaci�n sensorial del mismo, de la actividad psicol�gica o espiritual m�s o menos subjetiva.

La Conceptograf�a pretende ser una conceptograf�a que permita la traducci�n a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especificadas. �En realidad, yo no he querido hacer un simple calculos ratiocinator sino una lingua charaterica [sic] en el sentido de Leibniz�. Y ello hasta el extremo de que si se partiera de un c�lculo al estilo del �lgebra l�gica se est� condenando a mantenerse en una especie de �lgebra abstracta, vac�a, mientras que puede concebirse una lingua characterica que no aboque en un c�lculo por el mero c�lculo. El c�lculo no debe considerarse como otra cosa que como un complemento de dicha lingua.

Frente a los formalistas, que llegan a identificar numeral y n�mero, Frege distingue tres planos: expresi�n, contenido judicativo de esa expresi�n y aserci�n o juicio del contenido o pensamiento. Lo �nico que importa en la Conceptograf�a es el contenido judicativo. �Los griegos vencieron a los persas en Platea� y �los persas fueron vencidos por los griegos en Platea� son dos expresiones diferentes, pero presentan el mismo pensamiento, el mismo contenido. Contenido que puede ser convertido en aserci�n, aunque sea independiente de tal aserci�n e incluso puedan existir contenidos que carezcan de la expresi�n asociada correspondiente. Ello conduce a rechazar la distinci�n entre sujeto y predicado, v�lida fundamentalmente para la expresi�n gramatical y no para el contenido judicativo ni para el conceptual. La �nica diferencia que importa entre contenidos judicativos es la que existe entre universales y particulares, porque dicha distinci�n lo es en cuanto a contenido conceptual y no s�lo en cuanto a expresiones. De este modo quedan fuera de la l�gica las viejas distinciones entre juicios categ�ricos, hipot�ticos, disyuntivos... Igualmente, conduce a admitir que la negaci�n se aplica a contenidos de juicios y no a la sola expresi�n de los mismos, contenidos a los que har�n referencia, por modo exclusivo, las restantes constantes l�gicas que explicitar� Frege.

Desde este enfoque que diferencia radicalmente l�gica de gram�tica y de teor�a del conocimiento, Frege se ve obligado a rechazar la posibilidad de distinciones modales como tema propio de la l�gica. As�, �es posible que la Tierra choque alg�n d�a con otro cuerpo celeste� es una expresi�n en la cual quien la afirma no conoce las leyes de las cuales pueda seguirse la negaci�n; en otras palabras, una distinci�n modal de posiiblidades o de necesidad se refiere m�s al fundamento cognoscitivo que se tiene en el momento de enunciarla, que al contenido del juicio. Desde esta posici�n se invalida cualquier construcci�n l�gico-modal.

M�s arriba se ha dicho que Frege sustituye los conceptos de sujeto y predicado por los de argumento y funci�n. �C�mo se hace esto? Sea una expresi�n como �La vaca come hierba�. Si en lugar de �La vaca� ponemos �la oveja�, la expresi�n seguir� siendo v�lida. Se puede reemplazar el t�rmino �vaca� por otros t�rminos o, generalizando, por un lugar vac�o: �( ) come hierba�, y ello de manera tal que, al cubrir ese espacio vac�o por un t�rmino conveniente se tenga la expresi�n completa que podr� o no ser judicable. Y lo ser� cuando el t�rmino sea conveniente, en cuyo caso dicho t�rmino poseer� la propiedad indicada por la otra parte de la expresi�n; en nuestro ejemplo, �vaca� poseer� la propiedad de comer hierba. Todos aquellos t�rminos que permitan cubrir el espacio vac�o constituir�n los argumentos, mientras que la propiedad que los mismos poseen, la de �comer hierba�, constituye la funci�n para tales argumentos. Si ahora se toma la expresi�n �Jorge ama a Luisa�, en lugar de �Jorge� y �Luisa� pueden colocarse otros t�rminos por argumentos, por lo que la expresi�n general tendr�a dos espacios vac�os �( ) ama a ( )� y la funci�n �ama a� ser� una funci�n de dos argumentos. El proceso puede continuar generaliz�ndose para obtener funciones pluriargumentales.

Los espacios vac�os se representar�n por letras entre par�ntesis, como indeterminadas, mientras que la propia funci�n se representar�, igualmente, por una letra. Representaci�n que Frege hace por �F(A)� para la funci�n de un argumento y �F(A,B)� para la funci�n de dos argumentos. Si al reemplazar �convenientemente� la letra entre par�ntesis resulta que el contenido obtenido es capaz de ser convertido en juicio, en aserci�n, entonces es que el argumento satisface la funci�n, es decir, posee la propiedad determinada por la misma.

Es el an�lisis de una proposici�n en letra funcional y argumento el que permite superar a Frege la distinci�n entre sujeto y predicado. An�lisis por el cual puede establecerse uno de los logros m�s definitivos de la l�gica matem�tica: la teor�a de la cuantificaci�n. Siguiendo con la funci�n, puede ocurrir que todo t�rmino que se reemplace en el argumento de una funci�n posea esta propiedad, con lo que estamos ante un cuantificador universal. La negaci�n del cuantificador universal nos permite hacer aserciones existenciales.

La introducci�n de los cuantificadores universal y existencial le lleva a introducir las nociones de variable libre y variable ligada. El cuantificador universal debe estar sometido a que cualquier sustituci�n que pueda hacerse en una funci�n tiene que dar un contenido que pueda convertirse en juicio: �Si una combinaci�n de signos que siguen a un trazo de contenido puede convertirse en juicio, entonces esa posibilidad permanece inalterada por una sustituci�n� (par�grafo 11). La variable que acompa�a al cuantificador aparece como una variable ligada y, por ello, es diferente a una variable libre.

6.2 Giuseppe Peano

Al principio, la l�gica matem�tica se redujo a la teor�a de clases. McColl fue el primero en sostener que la teor�a de enunciados era m�s importante. Seg�n su punto de vista, el fin de la l�gica es s�lo la teor�a de enunciados y su principal part�cula conectiva es alguna especie de implicaci�n. La idea de que la ra�z de la l�gica matem�tica es la teor�a de enunciados y no la teor�a de clases y de que la implicaci�n es su relaci�n principal, cobr� fuerza en seguida entre los precursores de la l�gica, como Frege o Pierce. Ambos se interesaron por la l�gica de enunciados como una rama del �lgebra de clases, y la implicaci�n jug� un papel esencial en sus sistemas. No obstante, antes de Peano nadie us� la l�gica de enunciados para clarificar los argumentos de la matem�tica ordinaria, viendo as� en la l�gica un instrumento para aclarar y dar rigor al razonamiento matem�tico. Nadie antes de Peano puso de relieve que la implicaci�n es la relaci�n fundamental en matem�ticas, por ser implicaciones casi todos los enunciados verdaderos en cualquier sistema matem�tico. As�, con Peano, se constat� la posibilidad, gracias a la l�gica, de poner todos los enunciados de la matem�tica �y no s�lo la aritm�tica, como cre�a Frege� en forma de un lenguaje artificial de signos, y construir las demostraciones de todos los teoremas matem�ticos mediante cambios y sustituciones de tales signos partiendo de axiomas y definiciones.

Para poner las demostraciones de las matem�ticas de forma rigurosamente razonada, Peano emprendi� la tarea de descubrir todas las ideas y leyes de la l�gica que se usan en matem�ticas y de inventar un conjunto de signos para la notaci�n de esas ideas y la clara enunciaci�n de esas leyes. Entre sus descubrimientos e invenciones destacan: a) la definici�n de una clase por medio e un enunciado de la forma: �la clase de los x tales que P(x)� (que simboliz� como �x � px�); b) la idea de que los enunciados con variables libres difieren de un modo importante de los bivalentes; c) el uso de puntos en lugar de los signos (, ), [, ], para agrupar complejos de signos; d) el uso de signos diferentes a los matem�ticos para las operaciones y relaciones l�gicas cuando puede haber peligro de lectura err�nea; e) la distinci�n clara de la relaci�n de ser elemento de una clase respecto de la de ser parte de una clase; siendo denotada la primera por � y la segunda por �; f) la idea de �el tal y tal� (tan usada luego por Russell) que resulta necesaria para el tratamiento de propiedades de las que tenemos que decir que las posee s�lo un individuo; g) la notaci�n del cuantificador universal escribiendo las variables en la parte inferior derecha del conector de enunciados; h) la notaci�n del cuantificador existencial mediante $.

Pero, el logro m�s importante de Peano fue la formalizaci�n de la aritm�tica.

6.2.1 La formalizaci�n de la aritm�tica

Cuando contamos pasamos de una cosa a la siguiente, y cuando numeramos lo que estemos contando, pasamos de un n�mero al siguiente (al que podemos llamar su sucesor); asimismo empezamos siempre a contar en alg�n punto, de modo que al numerar hay siempre un primer n�mero que posee la singularizadora propiedad de no ser sucesor de ning�n otro; por lo regular suponemos tambi�n que al contar no nos quedaremos sin n�meros, de suerte que, por grande que sea el grupo de cosas que contemos, podremos continuar contando indefinidamente; es decir, suponemos que no hay un �ltimo n�mero; finalmente, cuando ordenamos cosas cont�ndolas queremos lograr la unicidad de tal orden, y para ello no contamos dos veces la misma cosa ni asignamos el mismo n�mero a dos cosas distintas, requisito que podemos formular diciendo que no hay dos n�meros (distintos) que tengan el mismo sucesor. Podemos reunir en una c�moda lista estas tan conocidas propiedades de la operaci�n de contar del siguiente modo:

1. n es un n�mero
2. el sucesor de un n�mero es un n�mero
3. no hay dos n�meros que tengan el mismo sucesor
4. n no es el sucesor de ning�n n�mero
5. todos los n�meros (naturales) tienen cierta propiedad, y sucede que

1. el primer n�mero la tiene, y
2. si un n�mero cualquiera la tiene, su sucesor asimismo la tiene

Este �ltimo axioma se refiere a la llamada inducci�n matem�tica, y enuncia la fuerte intuici�n aritm�tica que nos lleva a concluir, a partir de uno o dos casos, que algo lo cumplen todos los n�meros.

Podemos caracterizar la relaci�n �sucesor de� por sus propiedades formales; supongamos, en efecto, que tomamos dos n�meros ordinales tales que y sea el sucesor de x; es evidente, entonces, que �si (xSy, no ySx)�, por lo cual consideraremos que la relaci�n sucesor de es asim�trica; pero adem�s es intransitiva, ya que �si zSy e ySz, no zSx�.

Los elementos del sistema formal de Peano son:

1. t�rminos primitivos no definidos (�0�, �n�mero� y �sucesor�);
2. los axiomas I a IV, en los que aparecen dichos t�rminos primitivos; estos axiomas son las f�rmulas o enunciados primitivos de la teor�a, de los que se derivan, por demostraci�n, todos los dem�s;

3. reglas de formaci�n y transformaci�n: son las reglas de construcci�n de f�rmulas bien formadas (o enunciados admisibles) de la teor�a, y las reglas de inferencia, que permiten �pasar� de un enunciado a otro;
4. definiciones que introducen t�rminos definidos vali�ndose de los no definidos, y que, por consiguiente, cabe eliminar efectuando la reducci�n a estos �ltimos (pero las deducciones facilitan los m�todos de inferencia);
5. teoremas demostrables apoy�ndose en I) a IV).

Para nuestros fines adoptaremos la siguiente forma de los axiomas, empleando 0, n�mero y sucesor (para abreviar, utilizaremos la notaci�n Sx en lugar de sucesor de x, siendo x una variable que pueda representar cualquier n�mero):

1. 0 es un n�mero;
2. si x es un n�mero, Sx ser� un n�mero
3. no hay dos n�meros que tengan el mismo sucesor
4. 0 no es el sucesor de ning�n n�mero

5. todos los n�meros tienen la propiedad P si

1. P(0), y
2. si para cualquier x, P(x), P(Sx).

Definiciones para suma y multiplicaci�n:

D1. Adici�n (�+�):

1. x + 0 = x
2. x + Sy = S(x + y)

D2. Multiplicaci�n ���:

1. x � 0 = 0
2. x � Sy = (x � y) + x

Como ejemplo de la utilidad de esta formalizaci�n, veamos la demostraci�n de que 3 + 1 = 4

1. 0� es un n�mero (por los axiomas I y II)
2. 0� = 1 (por definici�n)
3. (0�)� es un n�mero (en virtud de 1 y el axioma II)
4. (0�)� = 1� = 2 (por sustituci�n y definici�n)
5. 2� es un n�mero (en virtud de 3, de una sustituci�n y el axioma II)
6. 2� = 3 (por definici�n)
7. 3� es un n�mero (en virtud de 5, de una sustituci�n y el axioma II)
8. 3� = 4 (por definici�n)
9. (3 + 1) = (3 + 0�) (por sustituci�n y adici�n)
10. (3 + 1) = (3 + 0�) (por definici�n de adici�n (parte 2))
11. (3 + 0) = 3 (por definici�n de adici�n (parte 1))
12. (3 + 0)� = 3� = 4 (por sustituci�n y en virtud de 11 y 8)
13. (3 + 1) = 4 (por sustituci�n y en virtud de 9 y 12)

En este sistema formal, las expresiones �3�, �4�, �1� y �+� no significan m�s que lo que expresan sus definiciones a base de los t�rminos primitivos, y, si atendemos s�lo a los fines sint�cticos, exactamente lo mismo podr�amos haber escrito en su lugar, �A�, �B�, �C� y �%�, de igual manera que hubiera sido posible escribir �*�, �refunfa� y �expeditor� en lugar de los t�rminos primitivos que hemos utilizado, �0�, �n�mero� y �sucesor�. Los n�meros ordinales proyectados por los axiomas de Peano representan relaciones de orden o sucesi�n, tales como �primero�, �segundo�, etc.

Si decimos de las cosas susceptibles de ser contadas que son miembros de conjuntos o clases de cosas, nos acercamos m�s a las intuiciones que tenemos acerca de ellas. Si adoptamos esta manera de expresarnos, lo que querremos decir al pronunciar uno ser� esa propiedad com�n compartida por todos los miembros de cierta clase, y cabr� sostener que cuanto sea uno constituir� una clase de un solo miembro, en virtud de su singular identidad como esa cosa. Ahora bien, puede decirse que todas las cosas del universo son id�nticas a s� mismas, pero en la medida en que son discriminablemente �nicas cada una de ellas tiene su propia identidad, o conjunto �nico de propiedades que la hagan ser esa cosa, y no otra; y semejantes clases de un solo miembro, o clases unitarias, comparten, a su vez, una propiedad: la de tener un solo miembro. De ah� que podamos definir el n�mero cardinal uno como la clase de todas las clases con un solo miembro, o sea, la clase de las clases unitarias; an�logamente, se define el cardinal dos como la clase de todas las clases dotadas de dos miembros, y el n�mero cardinal cero como la clase de todas las clases carentes de miembros, o clase vac�a.

Por consiguiente, podemos �entender� o �constituir� los n�meros de tal modo que lleguemos a interpretar los n�meros naturales a base de la cardinalidad, esto es, en el sentido de la numerosidad de los miembros de cada clase de clases igualmente dotadas de ellos, una vez generados los cardinales correspondientes a cada t�rmino sucesivo de la serie de los n�meros naturales, 0, 1, 2, 3, �

Si partimos de �0�, adopt�ndolo como primer n�mero, y lo entendemos como la clase vac�a, podemos �generar� el segundo, o sea, �1�, como la clase cuyo �nico miembro sea la clase vac�a; luego, la clase que contenga como �nico miembro la clase unitaria cuyo solo miembro es la clase vac�a ser� 2, y as� sucesivamente.

6.3 Russell y los Principia Mathematica

La obra Principia Mathematica de Russell y Whitehead es a la l�gica moderna lo que el Organon de Arist�teles para la l�gica cl�sica. Es la s�ntesis y culminaci�n de todos los desarrollos de la segunda mitad del siglo XIX. La primera parte, titulada L�gica matem�tica, desarrolla la teor�a de los juntores o conectivas (l�gica de enunciados), la teor�a de cuantores o enunciados con variables de individuo (l�gica de predicados mon�dicos), y la teor�a de clases y relaciones (l�gica de predicados poli�dicos) como un �lgebra. La segunda parte, titulada Proleg�menos a la aritm�tica cardinal, se ocupa de las ideas necesarias para definir �n�mero cardinal� y para poder construir una aritm�tica de los n�meros cardinales con los pilares de la l�gica. Los vol�menes 2 y 3 estudian en detalle las aritm�ticas de los n�meros cardinales y ordinales, bas�ndolas enteramente en la l�gica.

6.3.1 La teor�a de los tipos

En los Principios de la matem�tica Russell hab�a sostenido que toda la matem�tica es reducible a la l�gica. Pero no se ofrec�a un desarrollo detallado ni de las definiciones ni de las demostraciones l�gicas en t�rminos de las cuales fundamentar las matem�ticas. Esta es la tarea principal de los Principia.

El objeto primario de los Principia fue mostrar que toda la matem�tica pura se sigue de premisas puramente l�gicas, y que emplea solamente conceptos definibles por medio de t�rminos l�gicos; ahora bien, aqu� apareci� una dificultad, conocida con el nombre de paradoja de Russell (la paradoja de la clase de todas las clases que no son miembros de s� mismas). La soluci�n de este problema lleg� cuando Russell se dio cuenta de que la dificultad resid�a m�s en la l�gica que en las matem�ticas y que, por tanto, era la l�gica lo que hab�a que modificar. �C�mo salvar tal dificultad?

El razonamiento de Russell es el siguiente: supongamos que tenemos n objetos ante nosotros, y que queremos saber de cu�ntos modos existen de elegir ninguno, algunos todos los n objetos. El n�mero de modo es 2ⁿ; es decir, una clase de n t�rminos tiene 2ⁿ subclases. Ahora bien, Cantor hab�a demostrado que 2ⁿ es mayor que n. Aplicando esto a todas las cosas del universo, se llega a la conclusi�n de que existen m�s clases de cosas que cosas; de donde, las clases no son �cosas�, las clases son meramente conveniencias del discurso.

Dicho en otras palabras: dada cualquier funci�n proposicional, fx, existe cierto rango de valores de x para los cuales esta funci�n es �significativa�. Si a est� en el rango, fa es una proposici�n verdadera o falsa. Adem�s de sustituir la variable x por una constante, pueden hacerse otras dos cosas con una funci�n proposicional: una es afirmar que siempre es verdadera; la otra, decir que algunas veces es verdadera. Hay, pues, tres cosas que pueden hacerse con una funci�n proposicional: la primera es sustituir la variable por una constante; la segunda es afirmar todos los valores de la funci�n, y la tercera es afirmar algunos valores o al menos uno de los valores. La funci�n proposicional en s� misma no es m�s que una expresi�n. No afirma ni niega nada. Una clase, del mismo modo, es tan s�lo una expresi�n.

Por otro lado, cuando afirmo todos los valores de una funci�n fx, los valores que x puede tomar deben ser definidos, si lo que estoy afirmando ha de ser definido. Es decir, ha de haber un determinado total de posibles valores de x. Si ahora creo nuevos valores, definidos en t�rminos de ese total, dicho total aparece por ello aumentado y, en consecuencia, los nuevos valores que a �l se refieren se referir�n a ese total aumentado.

Tendremos, por tanto, que distinguir entre proposiciones que se refieren a un determinado total de proposiciones, y proposiciones que no lo hacen. Las que se refieren a una totalidad de proposiciones nunca pueden ser miembros de tal totalidad. Podemos definir como proposiciones de primer orden las que no se refieren a una totalidad de proposiciones; proposiciones de segundo orden, a las que se refieren a totalidades de proposiciones de primer orden, y as� ad infinitum. Mediante esta teor�a, conocida como teor�a de los tipos, logramos salvar la paradoja del mentiroso. B�sicamente la teor�a consiste en negar la posibilidad de la autorreferencia; es decir, no debemos nunca hablar de las proposiciones de un lenguaje L en ese mismo lenguaje L, sino que debemos utilizar un lenguaje L + 1.

6.3.2 La teor�a de las descripciones

La teor�a de las descripciones est� considerada como la aportaci�n m�s importante de Russell a la l�gica. El punto central de esta teor�a es que una frase puede contribuir al significado de una oraci�n sin tener significado en absoluto aisladamente.

Para explicarla utilizaremos el ejemplo de Russell. �Expresa el enunciado �Scott es el autor de Waverley� una identidad o una tautolog�a?. La respuesta de Russell es que este enunciado es claramente una identidad, porque cuando Jorge IV pregunt� qui�n era el autor de Waverley, quer�a saber si Scott era el autor de Waverley, pero no quer�a saber si Scott era Scott.

Esto parece evidente; �d�nde est�, pues, el problema? Antes de Russell los l�gicos sol�an pensar que si dos frases denotan el mismo objeto, una proposici�n que contenga a una de ellas puede ser reemplazada siempre por una proposici�n que contenga a la otra, sin dejar de ser verdadera, si era cierta, o falsa, si era falsa. Ahora bien, argumenta Russell, si esto fuese cierto la proposici�n verdadera �Jorge IV quiso saber si Scott era el autor de Waverley� se convierte (sustituyendo �el autor de Waverley� por Scott) en la proposici�n falsa �Jorge IV quiso saber si Scott era Scott�. Esto demuestra, seg�n Russell, que es necesario distinguir entre un nombre y una descripci�n. Scott es un nombre, �el autor de Waverley� es una descripci�n.

Otra diferencia entre nombre y descripci�n consiste en que, un nombre no puede aparecer significativamente en una proposici�n a menos que haya algo que denomine, mientras que una descripci�n no est� sujeta a esta limitaci�n. El no hacer esta distinci�n nos lleva a defender la existencia de objetos inexistentes, como en la famosa argumentaci�n de Meinong sobre la monta�a de oro. Meinong dec�a: si dec�s que la monta�a de oro no existe, es obvio que hay algo que est�is diciendo que no existe, es decir, la monta�a de oro; por tanto, la monta�a de oro debe subsistir en alg�n oscuro mundo plat�nico del ser, porque, de otro modo, vuestra afirmaci�n de que la monta�a de oro no existe no tendr�a significado.

El punto esencial de la teor�a de las descripciones es que, aunque la �monta�a de oro� pueda ser gramaticalmente el sujeto de una proposici�n con significado, tal proposici�n, cuando se analiza correctamente, deja de tener tal sujeto. La proposici�n �la monta�a de oro no existe� se convierte en �la funci�n proposicional �x es de oro y una monta�a� es falsa para todos los valores de x�. El enunciado �Scott es el autor de Waverley� se convierte en �para todos los valores de x, �x escribi� Waverley� es equivalente a �x es Scott��. Aqu�, la frase �el autor de Waverley� ya no aparece.

La teor�a de las descripciones, adem�s, arroja luz sobre el significado de �existencia�. �El autor de Waverley existe� quiere decir �hay un valor de c para el cual es cierta la funci�n proposicional: �x escribi� Waverley� es siempre equivalente a �x es c��. La existencia, en este sentido, puede afirmarse solamente de una descripci�n, y, cuando se analiza, se descubre que es un caso de funci�n proposicional que es verdadera por lo menos para un valor de la variable. Podemos decir �el autor de Waverley existe� y podemos decir �Scott es el autor de Waverley�, pero �Scott existe� no es gramaticalmente correcto. En el mejor de los casos, puede interpretarse su significado como �la persona llamada �Scott� existe�, pero (la persona llamada �Scott�( es una descripci�n, no un nombre. Cuando quiera que un nombre se emplea correctamente como tal nombre, no es correcto gramaticalmente decir �que existe�.

6.3.3 Los Principia Mathematica

En esta obra aparece la primera axiomatizaci�n de la l�gica. Como es sabido, la l�gica puede concebirse o bien como un sistema de reglas de deducci�n natural (reglas de inferencia) destinadas a su aplicaci�n a los razonamientos del lenguaje ordinario, o bien como un c�lculo. En este �ltimo caso se trata de un algoritmo bien definido, que no se refiere a nada y en cuanto tal carece de significado (excepto el puramente sint�ctico) con vistas al estudio de sus propiedades metal�gicas (como la consistencia, la completud o la decidibilidad). En un c�lculo han de presentarse s�lo los elementos imprescindibles �todos ellos perfectamente determinados� y en t�rminos de �stos se ir�n construyendo los dem�s. Esto es, un conjunto de s�mbolos primitivos con los cuales se construir�n los s�mbolos derivados, unas reglas de formaci�n de expresiones bien formadas o f�rmulas, y alguna regla de transformaci�n de expresiones. Si a ello le a�adimos un n�mero de axiomas, esto es, de f�rmulas tomadas como verdaderas por definici�n dentro del sistema, el c�lculo se convierte en un sistema formal, y entonces se dice que el c�lculo est� axiomatizado.

En Principia Mathematica aparecen como s�mbolos primitivos

1. las variables proposicionales (p, q, r, s, etc.)
2. las conectivas: �, �
3. los diversos signos de puntuaci�n ((),{}, [], etc.)

Como s�mbolos definidos aparecen:

�[(X � Y =def �(�X � �Y)]

� [X � Y =def �X � Y

� [X � Y =def {�(�X � Y) � �(�Y � X)}]

Se emplean, adem�s, cuatro reglas de formaci�n:

1. una variable proposicional sola es una f�rmula bien formada del c�lculo
2. si X es una fbf, entonces �X tambi�n lo es
3. Si X e Y son fbfs, X ( Y tambi�n lo es
4. Estas son todas las reglas de formaci�n el c�lculo (esta �ltima regla tiene un car�cter metaling��stico respecto de las anteriores �y metaling��stico respecto al c�lculo)� y se establece para dejar sentado que todas las reglas est�n explicitadas)

Aparecen, tambi�n, dos reglas de transformaci�n:

1. Dada una tesis del c�lculo en la que aparezcan variables de enunciado, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por fbfs del c�lculo ser� tambi�n una tesis del c�lculo; con tal de que cada variable sea sustituida siempre que aparece, y siempre por el mismo sustituto (regla de sustituci�n)

2. Si X es una tesis del sistema, y los es tambi�n X ( Y, entonces Y es una tesis del sistema (regla de separaci�n o modus ponens)

Adem�s, Russell y Whitehead formularon los siguientes seis axiomas:

1. lo que est� implicado por una premisa verdadero es verdadero
2. p � p � p
3. q � (p � q)
4. (p � q) � (q � p)
5. [p � (q � r)] � [q � (p � r)]
6. (q � r) � [(p � q) � (p � r)]

Adem�s de estas proposiciones primitivas, formulan el �axioma de identificaci�n de variables reales�. Cuando tenemos aseveradas por separado dos funciones de x diferentes, en donde x es indeterminado, frecuentemente es importante saber si podemos identificar la x de una aserci�n con la x de la otra. Este ser� el caso si ambas aserciones presentan x como el argumento de alguna funci�n, es decir, si f x es un componente de ambas aserciones o, con m�s generalidad, si f (x, y, z, �) es un constituyente en una aserci�n, y f(x, u, v, �) es un constituyente de la otra.

Con estos elementos pueden comenzar a deducirse todos los teoremas de la l�gica elemental de enunciados. En realidad, como se demostr� m�s tarde, incluso puede construirse un sistema entero de l�gica de enunciados con menos elementos. Por ejemplo, puede usarse una sola conectiva para definir todas las dem�s: la barra de Sheffer (p | q que se lee �no conjuntamente p y q� o �p y q son incompatibles�).

Con los Principia Mathematica queda definitivamente establecida la l�gica moderna como un sistema formal axiom�tico, plenamente simbolizado, en el que se unifican y se establecen claramente las relaciones entre la l�gica de enunciados y la de predicados, los diversos tipos de predicados de primer orden, y los predicados de orden superior (la cuantificaci�n de las variables de predicado).

El �nico borr�n que se le puede achacar a este sistema son los resultados de G�del de 1931, sobre la incompletud de los sistemas formales. Ahora bien, este no es un borr�n de los Principia solamente, sino de cualquier sistema formal que podamos inventar y que, en definitiva, lo que viene a demostrar es que no podemos demostrar que las matem�ticas no son contradictorias.

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