TEMA 44

ESTRUCTURAS RESISTENTES A LOS ESFUERZOS

INDICE

1 – Introducción

2 – Sistemas articulados

3 – Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos

4 – Análisis de estructuras articuladas Isostáticas

4.1 – Generalidades

4.2 – Método de los nudos

4.3 – Procedimiento gráfico de Cremona

4.4 – Método de las secciones o de Ritter

5 – Armaduras

5.1 – Generalidades

5.2 – Armaduras simples

5.3 – Armaduras tridimensionales

6 – Pórticos

Guión-Resumen

Bibliografía

1 – Introducción

Se llaman estructuras a todas las partes de una construcción compuestas por varios elementos rectilíneos unidos entre sí por sus extremos y cuya misión es soportar las cargas a las que se encuentra sometida.

Las uniones entre sus elementos pueden ser constructivamente soldadas, remachadas o atornilladas, quedando más o menos rígidas por emplearse más de un remache o tornillo en cada unión.

Para su cálculo sin embargo, las uniones se consideran de dos tipos, articuladas o rígidas. Cuando la parte fijada de los elementos es pequeña respecto a su longitud se consideran las uniones como articuladas, es decir como articulaciones sin rozamiento que permiten el giro de un elemento respecto a otro; en caso contrario se consideran como rígidas no permitiéndose el giro, y por tanto no pudiendo variar el ángulo que forman los elementos en la unión.

En este tema estudiaremos los sistemas articulados en general, las armaduras y los pórticos.

Las armaduras son un tipo de estructuras muy utilizado, especialmente en el proyecto de puentes y cubiertas. Consisten en una serie de elementos rectos o barras conectadas entre sí mediante juntas o nudos articulados.

Los pórticos son estructuras formadas por vigas y pilares rígidamente unidos entre sí, de modo que al sufrir deformaciones, el ángulo que forman en sus uniones los elementos que concurren no varía.

2 – Sistemas articulados.

Los sistemas articulados son uno de los tipos de estructuras mas utilizados para la solución de puentes, cubiertas, torres, grúas, etc.

Consisten en un conjunto de barras o elementos rectos conectados entre sí por sus extremos, denominándose los puntos de unión nudos (Fig. 1). En la práctica están compuestos por varias estructuras articuladas planas, para formar un entramado espacial. Cada estructura articulada plana está pensada para soportar cargas que actúan en su propio plano, pudiéndose tratar como estructuras bidimensionales.

Figura 1 Figura 2

Sus barras sólo pueden soportar pequeñas cargas en los nudos y no en las propias barras. En el caso de que las cargas vayan a estar repartidas sobre las barras, se dispone un forjado, que mediante correas y vigas transmita las cargas a los nudos en lugar de a las barras.

Se supone también que los pesos de las barras son despreciables frente a las cargas exteriores, y en caso de considerarse se reparten por igual en los dos nudos extremos; y que las uniones entre las barras en los nudos se realizan con pasadores; con lo que de acuerdo con estas hipótesis, en cada barra hay aplicadas dos fuerzas iguales y opuestas en sus extremos que llevan la dirección de la barra y que tienden a estirarla o acortarla (Fig. 2). En el primer caso diremos que la barra trabaja a tracción y en el segundo a compresión.

Figura 3 Figura 4 Figura 5

En la realidad muy pocas juntas articuladas se construyen con pasadores que permitan libremente el giro de las barras, sino que las uniones están atornilladas, remachadas e incluso soldadas. Tales juntas pueden ejercer pares sobre las barras, pero estos pares o momentos se desprecian por ser muy pequeños en comparación con las fuerzas de tracción o compresión a que están sometidas las barras.

Los sistemas articulados, para ser utilizables como estructuras han de ser rígidos. Se dice que son rígidos cuando la única deformación posible se debe a pequeños cambios en la longitud de sus barras. Si consideramos la estructura representada en la figura 3, compuesta por cuatro barras conectadas por pasadores; al aplicar una carga en C, las estructura perderá su forma original y se moverá, con lo que en realidad se trata no de una estructura rígida sino de lo que se denomina un mecanismo. Si por el contrario la estructura está formada por solo tres barras (Fig. 4), solo se deformará ligeramente, alargándose o acortándose sus barras bajo la acción de la carga aplicada en C, tratándose en este segundo caso de una estructura rígida.

Para obtener estructuras de mayor tamaño basta con añadir, a una estructura rígida de este tipo, dos barras adicionales unidas entre sí y cada una de ellas a un nudo diferente de la estructura (Fig. 5). Una estructura construida de esta forma, que sigue siendo rígida, se denomina estructura articulada simple, y si está formada por triángulos tendremos estructuras articuladas:

- rígidas (no se mueven, no son mecanismos)

- simples (formadas por adición de dos barras y un nudo)

- triangulares (formadas solo por triángulos)

3 – Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos

Una vez establecida una estructura articulada plana rígida, se ha de fijar en el plano mediante los apoyos o enlaces externos necesarios para impedir cualquier movimiento.

Si el número de incógnitas (reacciones) en los apoyos es 3 y el número de barras es b = 2n - 3, siendo n el número de nudos, el sistema es isostático, lo que significa que es rígido y se puede resolver utilizando exclusivamente las ecuaciones de la estática, ya que el número de ecuaciones disponibles es igual al número de incógnitas:

- Incógnitas: b(esfuerzos en las barras) + 3(reacciones apoyos)

= b + 3 = 2n – 3 + 3 = 2n

- Ecuaciones: 2n

El número de ecuaciones de equilibrio disponibles es también 2n, ya que si se aísla un nudo, el equilibrio de fuerzas concurrentes en él proporciona dos ecuaciones para cada nudo:

SFh = 0 (Fuerzas horizontales) SFv = 0 (Fuerzas verticales)

Por lo que para el n nudos se dispone de 2n ecuaciones.

Para el cálculo práctico de las armaduras no se utiliza el planteamiento de este sistema general de 2n ecuaciones por resultar muy laborioso, sino otros métodos gráficos o simplificados que veremos posteriormente.

De una forma general, en función de las incógnitas en los apoyos (r = restricciones = reacciones), número de barras (b) y nudos (n), los sistemas articulados planos se pueden clasificar de la siguiente forma:

- Exteriormente (Exceso o defecto de restricciones en los apoyos):

r < 3 : Inestable

r = 3 : Isostático

r > 3 : Hiperestático

- Interiormente (Exceso o defecto de barras):

b < 2n – 3 : Inestable

b = 2n – 3 : Isostático

b > 2n – 3 : Hiperestático

Se indican a continuación, algunos casos sencillos que representan ejemplos de esta clasificación:

- Exteriormente:

- Inestable r < 3

Para fuerzas exteriores cuya resultante tenga componente horizontal, la estructura no es utilizable, ya que se desplazaría.

Análogamente el añadir una barra diagonal no soluciona el problema ya que la falta de sustentación exterior no se compensa con un aumento de la rigidez interior.

- Isostático r = 3

- Hiperestático r > 3

- Interiormente

- Inestable b < 2n –3

Este sistema articulado es inestable interiormente, ya que es deformable geométricamente y por tanto no rígido y no utilizable para un sistema general de cargas; tratándose de un mecanismo en lugar de una estructura. A estos sistemas también se les llama hipostáticos.

- Isostático b = 2n – 3

- Hiperestático b > 2n –3

En este caso se tiene un sistema hiperestático interiormente por exceso de barras, ya que se dispone de una más de las necesarias para asegurar la indeformabilidad del sistema. Nótese que las diagonales se cruzan en el centro sin constituir nudo.

En las siguientes figuras, se representan una estructura hiperestática exteriormente por exceso de apoyos (viga continua) y otra hiperestática interiormente por exceso de barras (barras superabundantes). Nótese que el cruce de diagonales no forma nudo.

Viga continua Barras superabundantes

A continuación se representa un sistema inestable interiormente que se transforma en isostático e indeformable añadiendo simplemente una barra.

b = 24 < 2n – 3 = 28 – 3 = 25 b = 25 = 2n – 3 = 25

En resumen, para que un sistema articulado sea isostático tanto interior como exteriormente se han de verificar primeramente las condiciones:

r = 3 y b = 2n –3

Pero no basta solo esto, sino que es necesario que las barras estén adecuadamente dispuestas, es decir, que no resulten superabundantes en una parte de la estructura e insuficientes en otra.

4 – Análisis de estructuras articuladas Isostáticas

4.1 - Generalidades

Una estructura articulada puede considerarse como un conjunto de barras y pasadores o nudos. Cuando es isostática, su análisis puede realizarse por los métodos que se exponen a continuación. Para ello hay que establecer el diagrama de sólido libre tanto para la estructura completa, como para cada barra y para cada nudo. La figura 6 muestra el diagrama de sólido libre para una estructura completa, donde aparecen las cargas exteriores y las fuerzas de reacción en los apoyos. Las fuerzas sobre las barras son dos, una en cada extremo, y dirigidas en la dirección de dicha barra con sentidos opuestos. Por la ley de acción y reacción, las fuerzas ejercidas sobre los nudos (barras sobre nudos) serán iguales, pero de sentido contrario, a las fuerzas ejercidas sobre las barras (nudos sobre barras). El esfuerzo que aparece en cada barra se denomina esfuerzo axil, pudiendo ser de tracción cuando tiende a alargarla o de compresión cuando tiende a acortarla.

Cuando una estructura está en equilibrio, también lo estarán sus barras y sus nudos, por lo que podremos expresar las condiciones de equilibrio para toda la estructura completa, para cada barra y para cada nudo. De esta manera en las figuras 7 y 8 se muestran los diagramas de sólido libre correspondientes a las barras y a los nudos respectivamente.

Figura 6

Figura 7 Figura 8

4.2 – Método de los nudos

Este método de análisis de estructuras articuladas, es un método numérico que consiste básicamente en plantear las ecuaciones de equilibrio estático en cada nudo de la estructura. Para su desarrollo hay que realizar los siguientes pasos:

1 – Calcular las fuerzas de reacción en los apoyos mediante las ecuaciones de equilibrio de toda la estructura considerada como sólido libre.

2 – Plantear la ecuación de equilibrio para cada nudo y calcular la fuerza que ejerce cada barra sobre el nudo. La fuerza del nudo sobre la barra será igual y de sentido contrario (Fig. 9), determinando así el valor de las dos fuerzas que actúan sobre la barra en sus extremos y si son de tracción o de compresión.

Primeramente se supone que todas las barras trabajan a tracción (o compresión) y si el resultado obtenido es negativo significa que en realidad trabajan al revés, compresión (o tracción).

Figura 9

Dado que en cada nudo solo hay dos ecuaciones de equilibrio, es necesario empezar por un nudo que solo tenga dos barras y continuar el proceso siempre con nudos que, aunque tenga mas de dos barras, solo en dos de ellas sean desconocidas las fuerzas.

Para explicar prácticamente tanto este método de análisis como los posteriores que veremos, se va a utilizar la estructura con la carga y dimensiones representadas en la figura 10; que presenta la ventaja de su sencillez y la particularidad de que tal y como está aplicada la carga, la barra "BC" no trabaja, es decir no está sometida a ninguna fuerza.

Figura 10

1 – Calculo de las reacciones:

Planteamos las tres ecuaciones de equilibrio para toda la estructura considerada como sólido libre.

SFh=0 Rdh = 0 ® Rd = Rdv

SFv=0 Ra + Rd - P = 0 ® Ra + Rd = P

SMd=0 Ra.3L – P.L = 0 ® Ra = P/3

Rd = P – P/3 ® Rd = 2P/3

2 – Calculo del nudo A (Fig. 11):

Dado que en cada nudo solo hay dos ecuaciones de equilibrio, es necesario empezar por un nudo que solo tenga dos barras y continuar el proceso siempre con nudos que, aunque tengan mas de dos barras, solo en dos de ellas sean desconocidas las fuerzas.

Hemos supuesto que todas las barras trabajan a tracción, es decir que las fuerzas de las barras sobre los nudos salen de ellos.

Figura 11 Figura 12

Fabh = Fab.cosa = Fab.2/

Fabv = Fab.sena = Fab.1/

Planteamos las dos ecuaciones de equilibrio del nudo:

SFv=0 (P/3)+Fab.1/ =0 ® Fab = - P/3 (- Compresión)

SFh=0 Fac+Fab.2/ =0 ® Fac = -(-P/3).2/ = 2P/3 (+ Tracción)

2 – Calculo de los restantes nudos (Fig 12).

A continuación se puede proceder al cálculo del nudo B, ya que conocida Fab, solo tiene dos fuerzas desconocidas Fbc (Barra BC) y Fbd (Barra BD). Al plantear las dos ecuaciones de equilibrio podemos considerar ya Fab, calculada anteriormente, con su sentido verdadero que es de compresión, al contrario de cómo se supuso inicialmente.

Fabh = Fab.cosa = P/3.2/ = 2P/3

Fabv = Fab.sena = P/3 . 1/ = P/3

SFh=0 Fabh + Fbdh = 0 ® 2P/3 + Fbdh = 0 ® Fbdh = -2P/3

Fbdh = Fbd.sen45º = Fbd/2 ® Fbd = 2Fbdh = - 4P/3 (- Compresión)

SFv=0 -P – Fbc – Fbdv + Fabv = 0 ® Fbc = -P – Fbdv + Fabv

Fbdv = Fbd.sen45º = -4P/3 . 1/2 = - 2P/3

Fbc = -P – (-2P/3) + P/3 = -P + 2P/3 + P/3 = 0 (No trabaja)

Solo queda por determinar Fcd ya sea usando el nudo C o el D. Directamente observando el nudo C y dado que Fbc = 0 la única forma de que esté en equilibrio es que Fac = Fcd, luego:

Fcd = Fac = 2P/3 (+ Tracción)

4.3 – Procedimiento gráfico de Cremona.

El procedimiento debido a Cremona, es la aplicación de forma gráfica del método de los nudos. Consiste en considerar cada nudo aisladamente, o sea, separado de la estructura, y como las fuerzas exteriores (cargas y reacciones de apoyo) e interiores de las barras que sobre él actúan concurren en un punto, se pueden establecer por nudo dos ecuaciones de equilibrio. De manera que si operando sucesivamente, se consigue que en cada uno de los "k" nudos no existan más que dos barras con fuerzas desconocidas, el cálculo de la estructura se reduce a la resolución de "2k" ecuaciones en "k" grupos de ecuaciones independientes unos de otros y con dos incógnitas en cada grupo. La determinación de las dos incógnitas de cada grupo independiente de ecuaciones se realiza gráficamente de manera sencilla, puesto que las fuerzas exteriores e interiores constituyen polígonos cerrados de fuerzas.

Para empezar el cálculo con nudos en los que sólo existan dos incógnitas se precisa generalmente determinar las reacciones en los apoyos, operación que se efectúa planteando el equilibrio de toda la estructura considerada como sólido libre.

En la figura 13 se representan por separado las fuerzas que actúan sobre cada nudo, y los correspondientes polígonos de fuerzas. Para saber si el esfuerzo en una barra es de tracción o de compresión, basta con examinar la dirección de las fuerzas en el polígono del nudo, y si la dirección de la fuerza se dirige al nudo, la fuerza es de compresión y si se separa de tracción.

En el nudo A se conoce y dibuja la reacción Ra que es vertical, como también se conocen las direcciones de las fuerzas de las barras "1=AB" y "4=AC", ya que son las direcciones de las barras, basta con trazarlas por los extremos de Ra para poder cerrar el polígono de fuerzas en el nudo y determinar las magnitudes de "F1=Fab" y "F4=Fac". F1 es de compresión ya que su sentido se dirige al nudo A, y F4 es de tracción ya que se aleja del mismo. Ha de tenerse en cuenta que como en este caso particular la barra "2=BC" no trabaja, su fuerza es nula y por lo tanto "F2=Fbc" no aparece en los polígonos de fuerzas a los que pertenece (Nudos B y C).

Como se deduce de la figura 13, cada fuerza de barra se repite en dos polígonos de fuerzas, los de sus nudos extremos, lo que teniendo en cuenta que se trata de una resolución gráfica lleva consigo mayores posibilidades de error. Para evitarlo, se dibuja cada polígono de fuerzas sobre el lado común del anterior, obeniéndose una sola figura para todos ellos llamada "polígono de Cremona".

El método gráfico o de Cremona consiste, pues, en dibujar sucesivamente polígonos cerrados de fuerzas para cada uno de los nudos, pero combinados de tal forma que cada fuerza actuante en una barra, por ser común a dos nudos, solamente se representa una vez.

Figura 13

Para el análisis de una estructura por el método de Cremona se procede de la manera siguiente:

1 – Se dibuja la estructura con exactitud, indicando todas las cargas y reacciones, utilizando dos escalas una para la estructura y otra para las fuerzas. Se numeran todas las barras y se designan con letras los nudos.

2 – Se dibuja el polígono de fuerzas exteriores y reacciones, de manera que se sucedan en el orden en que se presentan al girar alrededor de la estructura.

3 – Se comienza por un nudo en el que concurran dos barras, determinándose los esfuerzos en éstas mediante un polígono de fuerzas, realizado de tal manera que éstas se sucedan girando alrededor del nudo, en el sentido de las agujas del reloj.

4 – Se realiza esta operación para los restantes nudos, pero eligiendo estos en un orden tal, que únicamente existan en cada uno,al resolverlo, dos barras cuyas fuerzas se desconozcan.

5 – El sentido de las fuerzas actuantes se representa en el esquema de la estructura pero no en el polígono de Cremona. Se dibujan mediante flechas en los extremos de la barra las fuerzas que la barra ejerce sobre sus nudos extremos, de forma que si las flechas van hacia el exterior de la barra, está sometida a compresión, y si van hacia el interior a tracción.

6 – Se miden, en el polígono de Cremona, las fuerzas que corresponden a cada barra en la escala de fuerzas elegida, y sus valores y signos se pasan a una tabla.

4.4 – Método de las secciones o de Ritter

El método de Ritter consiste en cortar la estructura por una sección que intersecte solo tres barras, segregar una de las dos partes en la que ha quedado dividida la estructura y aplicar a la otra las tres ecuaciones de equilibrio en la forma de tres ecuaciones de momentos. Es el método más efectivo cuando se desean conocer los esfuerzos en una o en pocas barras, sin analizar la totalidad de la estructura.

La estructura de la figura siguiente queda dividida en dos partes por la línea “mn” que corta tres barras, las AB, BC y CD. El trozo izquierdo estará en equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores (fuerzas externas y reacciones) que actúan sobre él y de las acciones que la parte derecha segregada ejerce sobre la izquierda que es la que se analiza. De las acciones que la parte derecha ejerce a través de las barras, se conoce su dirección, faltando por determinar su intensidad y sentido, para lo que se dispone de tres ecuaciones de equilibrio en forma de tres ecuaciones de momentos respecto a tres puntos. Estos puntos se eligen de forma que resulten ser las tres intersecciones (A, B, C) de las barras cortadas (AB, BC y CD) tomadas dos a dos.

Se toma el criterio de que las fuerzas en las barras cortadas son positivas, es decir trabajan a tracción, cuando se alejan de secciones cortadas por la línea “mn”, y así se suponen. La ecuación de momentos correspondiente determinará tanto la intensidad como el sentido de la fuerza de la barra, que será realmente de tracción cuando resulte + y de compresión cuando resulte -.

A continuación, y según el siguiente dibujo, se resuelve la estructura planteada utilizando este método:

Tomando momentos respecto a los puntos A, B y C tenemos:

SMa=0 -Fbc.2L = 0 Fbc = 0

SMb=0 Ra.2L–Fcd.L = 0 Fcd = 2Ra = 2P/3 (+) ® Tracción

SMc=0 Ra.2L+Fab.d = 0 siendo d = 2L.sena = 2L.1/

(P/3).2L+Fab.2L.1/ = 0 Fab = -P/3 (-) ® Compresión

No siempre como en el caso anterior los puntos de intersección de las barras en los cuales se aplican las tres ecuaciones de momentos son nudos de la estructura; pudiendo resultar puntos alejados o incluso en el infinito como en el caso de dos barras paralelas. Entonces puede reemplazarse la tercera ecuación de momentos por una de proyección de fuerzas sobre la vertical. Así en la estructura representada a continuación, una vez determinadas las fuerzas en las barras “O2” y “U1” por ecuación de momentos alrededor de los puntos "1" e "I", como el punto de intersección de las barras “O2” y “U1” se halla alejado (en el infinito en este caso), se sustituye la tercera ecuación de momentos por otra de proyecciones de fuerzas sobre la vertical, obteniéndose: