ESQUEMA - ÍNDICE Pág.

1. INTRODUCCIÓN......................................................................................................... 2

2. SISTEMA DE EJES COORDENADOS ORTOGONALES....................................... 2

3. SISTEMA AXONOMÉTRICO.................................................................................... 3

4. COEFICIENTES DE REDUCCIÓN Y ESCALAS...................................................... 5

5. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA.............. 6

5.1. Determinación del coeficiente de reducción......................................................... 7

5.2. Determinación de la escala.................................................................................. 8

5.3. Representación del punto.................................................................................... 9

5.3.1. Diversas posiciones del punto.............................................................. 10

5.4. Representación de la recta.................................................................................. 12

5.4.1. Posiciones particulares de la recta........................................................ 13

5.5. Representación del plano.................................................................................... 16

5.5.1. Posiciones particulares del plano.......................................................... 18

5.6. Representación de figuras y sólidos..................................................................... 20

6. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVA CABALLERA............... 22

6.1. Coeficientes de reducción y escalas..................................................................... 23

6.2. Representación del punto.................................................................................... 25

6.3. Representación de la recta.................................................................................. 26

6.4. Representación del plano.................................................................................... 28

6.5. Representación de figuras y sólidos..................................................................... 29

7. RESUMEN..................................................................................................................... 31

8. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................ 31

1. INTRODUCCIÓN.

En el dibujo técnico, se requiere a menudo representar objetos tridimensionales con exactitud. La representación de una cara de los mismos no ofrece suficientes detalles sobre la forma y medidas de las restantes caras, por ello se ha de recurrir a sistemas de representación como el diédrico, el acotado, el axonométrico o el cónico.

Los sistemas de representación de objetos tridimensionales, como el diédrico y acotado, a pesar de contar con grandes ventajas, adolecen del defecto de no permitir apreciar al primer golpe de vista, la forma, los contornos y cualquier otro detalle que nos interese del cuerpo o figura representado.

Para salvar este inconveniente y conseguir ver intuitivamente las formas del cuerpo, se utilizan los sistemas de representación en perspectiva, como son el axonométrico y el cónico.

En este tema, se van a estudiar dos sistemas de representación derivados del sistema axonométrico: el sistema en perspectiva isométrica y el sistema en perspectiva caballera.

2. SISTEMA DE EJES COORDENADOS ORTOGONALES.

Se llama sistema de ejes coordenados ortogonales, al formado por tres rectas X, Y y Z, perpendiculares entre sí dos a dos ( Fig. 1 ), siendo cada una de ellas perpendicular al plano determinado por las otras dos.

Fig. 1

Las rectas se llaman ejes coordenados y los planos que determinan, planos coordenados, los cuales, al cortarse, dividen al espacio en ocho triedros rectángulos, tales como el OXYZ..

Si un punto cualquiera A del espacio, lo proyectamos perpendicularmente sobre cada uno de los planos coordenados, obtendremos las proyecciones A1, A2 y A3. Cada dos de estas proyectantes como la AA2 y AA3 determinan un plano que corta al eje Z en un punto P, obteniéndose análogamente los puntos M y N sobre los ejes X e Y, respectivamente. Se ha formado de este modo un paralelepípedo rectángulo, en el que tres de sus aristas coinciden con los ejes coordenados, siendo A el vértice opuesto al punto O, llamado origen de coordenadas.

Las longitudes OM = x, ON = y, y OP = z, reciben el nombre de coordenadas del punto A y son las que determinan la posición del punto en el espacio.

En efecto, conocidas las tres coordenadas x, y, z del punto, podemos determinar éste construyendo el paralelepípedo de aristas OM, ON y OP, iguales respectivamente, a las coordenadas dadas, cuyo vértice A nos dará el punto que buscamos. También puede construirse el rectángulo OMA1N de lados OM y ON, y por el vértice A1, trazar un segmento A1A, igual y paralelo a OP, siendo su extremo A el punto buscado.

Las proyecciones Al, A2 y A3 se denominan proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda, respectivamente.

3. SISTEMA AXONOMÉTRICO.

El fundamento de la representación del punto en el sistema axonométrico consiste, en esencia, en referir el punto dado A ( Fig. 2 ), a un sistema de ejes coordenados rectangulares X, Y y Z, por medio de las proyecciones Al, A2 y A3 del punto sobre cada uno de los planos coordenados, y luego, proyectar perpendicularmente cada una de estas proyecciones, y el punto A, sobre un plano de proyección p (plano del dibujo) sobre el que también se proyectan los tres ejes coordenados, en X’, Y’ y Z’.

Dicho de otra forma, los tres ejes coordenados, junto con el punto o el objeto que contiene se proyectan perpendicularmente en la superficie plano p, que es la superficie del papel donde se va a representar dicho objeto ( Como si se dibujara en un papel la sombra de un objeto situado sobre el mismo, estando la luz justo sobre el objeto ).

Se obtiene así la llamada proyección o perspectiva axonométrica ortogonal. Si la dirección de proyección fuese oblicua respecto a p, estaríamos hablando de la proyección o perspectiva axonométrica oblicua.

Por facilidad, se emplea más la perspectiva axonométrica ortogonal que la oblicua.

Fig. 2

Las principales características de este sistema son:

1º. No se utiliza más que un solo plano de proyección p, que coincide con el plano del dibujo.

2°. Los ejes o líneas de referencia llamados ejes axonométricos, son las proyecciones X’, Y’, Z’ de los tres ejes coordenados X, Y, Z.

3°. Cada punto A del espacio tiene en el dibujo cuatro proyecciones. La A’, proyección ortogonal de A sobre el plano del dibujo, se llama proyección directa o natural o perspectiva de A, y las A’1, A’2 y A’3 (proyección de proyección), proyecciones axonométricas.

4°. Como las proyectantes AA1, AA2 y AA3 del punto sobre los planos de proyección son respectivamente paralelas a los ejes Z, Y y X, sus proyecciones también lo serán, por tanto, si por las proyecciones A’1, A’2 y A’3, trazamos las paralelas A’1A’, A’2A’ y A’3A’ a Z’, Y’ y X’, concurrirán en A’, o lo que es lo mismo, las rectas que unen la proyección directa A’ del punto con cada una de las otras, son paralelas a cada uno de los ejes, siendo ésta la condición que caracteriza a las proyecciones de un punto.

Dentro de la proyección ortogonal puede ocurrir: que los ángulos a, b y g que cada uno de los ejes X, Y y Z forma respectivamente con el plano de proyección sean diferentes entre sí ( Sistema axonométrico anisométrico o trimétrico ), que dos de los ángulos sean iguales entre sí ( Sistema axonométrico monodimétrico o dimétrico ), o que los tres ángulos sean iguales entre sí ( Sistema axonométrico isométrico ). Normalmente, por sencillez, se usan sistemas axonométricos dimétricos o isométricos.

La perspectiva caballera consiste en un sistema axonométrico dimétrico, en el que dos de los ejes coordenados forman 0º con el plano de proyección ( Uno de los planos está apoyado en el plano de proyección ) y el tercero forma 90º con el mismo, mientras que la perspectiva isométrica consiste en un sistema axonométrico isométrico, en el que los tres ejes coordenados forman el mismo ángulo respecto al plano de proyección.

4. COEFICIENTES DE REDUCCIÓN Y ESCALAS.

En la representación axonométrica, los objetos representados ofrecen unas cotas menores a las reales, ya que se tratan de la proyección de las medidas reales, las cuales se encuentran situadas oblicuamente respecto al plano de proyección. Por tanto, para representar un objeto en dicho sistema, hay que transformar las cotas reales mediante una escala de reducción, la cual tendrá que ser calculada para cada uno de los ejes, teniendo en cuenta su inclinación respecto al plano de proyección.

Si sobre el eje X tenemos un punto A ( Fig. 3 ), distante del origen O la longitud unidad OA = u, y lo proyectamos sobre p, en X’; la proyección OA’= ux es la unidad correspondiente a X’ y se llama escala axonométrica de X.

La relación ux/u entre ambas unidades se llama coeficiente de reducción del eje X, y se designa por cx. Esta relación es la que existe entre la proyección B’C’ de un segmento y la longitud BC de éste, en el espacio. Por tanto, cx = B’C’/BC.

Fig. 3

Como lo mismo sucederá para los otros dos ejes, podremos enunciar: Si sobre cada eje X, Y y Z se lleva una longitud unidad u, sus proyecciones ux, uy, y ux sobre p se denominan escalas axonométricas de los ejes. Los cocientes:

cx = ux/u, cy = uy/y y cz = uz/u

se llaman coeficientes de reducción de los ejes X, Y y Z respectivamente.

Los valores de estas relaciones dependen únicamente de la magnitud del ángulo que cada eje forma con p ( Por ser los cosenos de estos ángulos ). Si los ángulos son iguales, como ocurre en el sistema isométrico, se verifica:

ux = uy = uz , luego: ux/u = uy/y = uz/u , o sea cx = cy = cz

Ejemplo: Representar el punto A, cuyas coordenadas son x = 3, y = 6 y z = 5 en un sistema isométrico, conociendo la escala axonométrica ux = uy = uz.

Bastaría con tomar sobre los ejes ( Fig. 4 ) las longitudes respectivas OM’= 3ux, ON’= 6uy y OP’= 5uz y trazar por los tres puntos obtenidos, líneas paralelas a los otros ejes, obteniendo así un paralelepípedo cuyos vértices son las cuatro proyecciones del punto A en el plano de proyección: A’, A’1, A’2 y A’3.

Fig. 4

5. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA.

El sistema isométrico es un sistema axonométrico que se caracteriza porque los ejes axonométricos X’,Y’ y Z’ forman entre sí 120º.

Para representar cualquier objeto en este sistema es necesario aplicar un coeficiente de reducción a las medidas del objeto en los tres ejes del dibujo, ya que los tres están colocados oblicuamente respecto al plano de proyección, dicho coeficiente será el mismo en los tres ejes, por ser idénticos los ángulos entre los mismos.

La utilidad de este sistema radica en el hecho de tener que calcular una sola escala para representar una medida en cualquiera de los tres ejes. Además, como la escala de reducción de los tres ejes es la misma, el aspecto de la figura representada no se verá distorsionado, consiguiéndose dibujos más realistas. Es por todo esto, uno de los sistemas de representación más utilizados para dibujar figuras tridimensionales.

5.1. Determinación del coeficiente de reducción.

Cortando los tres ejes del sistema isométrico por un plano a paralelo al plano de proyección ( Fig..5 ), el tetraedro ABCO formado, es regular por tener los tres ejes la misma inclinación respecto a a y ser iguales los ángulos de las caras que concurren en O. La proyección O’ del vértice o es el centro del triángulo equilátero ABC y las proyecciones O’A, O’B y O’C de los ejes serán normales a cada lado del triángulo.

Fig. 5

Haciendo OA = OB = OC = a, en el triángulo rectángulo AOB se verifica que:

, luego AB = AC = CB = a

En el triángulo rectángulo CBD:

y siendo O’C = 2/3 CD, sustituyendo el valor hallado de CD, se obtiene el siguiente valor:

luego el coeficiente de reducción buscado valdrá:

5.2. Determinación de la escala.

Una vez conocido el coeficiente de reducción, la escala axonométrica se obtiene multiplicando el valor de la unidad real por 0,816, ya que:

ux/u = uy/y = uz/u = 0,816, se deduce que ux = uy = uz = 0,816 u

Es decir, para representar un objeto en el sistema de perspectiva isométrica, habrá que multiplicar por 0,816 cada una de sus medidas antes de transportarlas sobre los ejes de coordenadas.

La escala puede hallarse también gráficamente, abatiendo el triángulo rectángulo COD de la Figura 5, en C(0)D.

Para ello, se traza un triángulo equilátero arbitrario A’B’C’ ( Fig. 6 ) y su centro 0, siendo las rectas O A’, O B’ y O C’ las proyecciones X’, Y’ y Z’ de los ejes.

Fig. 6

Se traza luego la altura C’D’, la semicircunferencia de diámetro C’D’ y la perpendicular al diámetro por O, cuya intersección con la semicircunferencia nos da el abatimiento (O) del vértice.

El abatimiento C’(0)D’ del triángulo nos permite conocer la distancia 0(0) del vértice O al plano a, el abatimiento (z) del segmento OC y el ángulo g que el eje Z forma con X. Llamando z’ al segmento OC’ ( Proyección de OC ), podremos escribir:

lo cual nos permite hallar la escala uz mediante una cuarta proporcional a u, (z) y z’, utilizando el mismo ángulo g del eje, ( Fig. 7 ), u otro cualquiera.

Fig. 7

La misma construcción sirve para los otros dos ejes, puesto que los tres ejes forman el mismo ángulo con el plano de proyección.

5.3. Representación del punto.

El sistema axonométrico isométrico se caracteriza porque los ejes axonométricos X’, Y’, Z’ forman entre sí ángulos de 120° ( Fig. 8 ).

Para determinar un punto cualquiera del espacio, basta conocer dos de sus cuatro proyecciones, puesto que conocidas dos de ellas, podemos hallar inmediatamente las otras dos.

Fig. 8

En efecto, supongamos que nos dan las proyecciones A’3 y A’2 de un punto del espacio y queremos hallar las otras dos proyecciones. Trazando por la proyección A’2, la paralela A’2A’ al Y’ y por A’3 la paralela al X’, ambas se cortarán por A’3 y A’2, paralelas a Z’, que cortarán a X’ e Y’. Trazando luego por el punto de intersección con X’, la paralela Y’ y la paralela X’, como indican las flechas, la intersección de estas paralelas nos dará la proyección A’1 buscada. Con ello, no se ha hecho más que construir las proyecciones del paralelepípedo de referencia del punto A sobre os tres ejes coordenados.

Como ya se ha dicho, el plano XY es horizontal y, por tanto, llamaremos proyección horizontal a la que se proyecto sobre el mismo. Los planos XZ e YZ son los verticales o laterales, y las proyecciones sobre ellos, proyecciones verticales o laterales.. En cuanto a las proyecciones axonométricas, A’1 es la proyección horizontal y A’2 y A’3, las verticales y laterales. Estas últimas también se denominan vertical primera y vertical segunda, respectivamente.

5.3.1. Diversas posiciones del punto.

Como los planos coordenados determinados por los ejes dividen el espacio en ocho regiones, el punto podrá estar situado en cualquiera de ellas. En la Figura 8, se han dibujado las proyecciones de un punto A, situado en el triedro OXYZ y en la Figura 9, varios puntos situados en cada una de las restantes regiones.

M’

Fig. 9

Los puntos B, C y D están encima del plano horizontal y los puntos M, N, P y Q debajo. La posición de este último queda reflejada por medio del paralelepípedo de referencia.

Si el punto está situado en uno de los planos coordenados ( Fig. 10 ), en el horizontal, por ejemplo, su proyección directa B’ coincide con la horizontal B’1, siendo esta condición la que caracteriza la posición del punto. Las otras dos proyecciones, B’2 y B’3, están sobre los ejes X’ e Y’, respectivamente.

Fig. 10

En la figura, los puntos A y B están situados en el plano horizontal; los C y D, en el primer vertical y los M y N, en el segundo vertical.

Si el punto está situado sobre uno de los ejes, su proyección directa coincide con dos de las otras, mientras que la tercera se confunde con O. Así sucede en la Figura 11 con los puntos A, B y C, situados sobre los ejes X’, Z’ e Y’, respectivamente.

Fig. 11

Por ultimo, si el punto pertenece a dos ejes, coincide con el origen O de coordenadas y sus cuatro proyecciones esteran confundidas en O’, como puede verse con el punto D de la figura anterior.

5.4. Representación de la recta.

Para determinar las proyecciones de una recta, basta unir las proyecciones homónimas de dos de sus puntos. Así, en la Figura 12, uniendo las proyecciones de dos puntos M y N de una recta r, obtendremos las proyecciones r’1, r’2 y r’3 de la recta que determinan, cuya proyección directa es r’.

Fig. 12

La recta, lo mismo que el punto, tiene cuatro proyecciones de las que sólo son necesarias dos, para que quede determinada.

En este sistema, los puntos notables de la recta son sus trazas con los planos coordenadas. Veamos cómo se determinan éstas.

La traza con el plano horizontal, por ejemplo, es un punto que por pertenecer al plano, tendrá su proyección directa y la horizontal confundidas y, por pertenecer a la recta, tendrá sus proyecciones sobre las homónimas de la recta, es decir, sobre r’ y r’1, luego no puede ser otro que la intersección de las proyecciones r’ y r’1, que nos determinan la traza H’r buscada. Análogamente se deduce que la traza con el primer vertical es la intersección V’, de r’ y r’2, hallándose en seguida las otras proyecciones de estas trazas que estarán, como ya sabemos, sobre los ejes.

Supongamos ahora que nos dan las proyecciones r’l y r’3 de la recta y queremos determinar las otras dos proyecciones. Primeramente, prolongaremos una de las proyecciones, la r’1 por ejemplo, hasta que corte al eje Y’ y trazando por este punto la paralela a Z’, su intersección con r’3 es la traza W’r de la recta, cuya proyección W’2r, está sobre Z’.

Análogamente, prolongando r’3 hasta su intersección con el eje Y’ y trazando por este punto la paralela al eje X’, cortará a r’l en el punto H’r ( Traza horizontal ), determinándose en seguida la otra proyección H’2, sobre X’.

Uniendo las proyecciones W’r y H’r y las W’2r y H’2r de las trazas halladas, obtenemos las otras proyecciones r’ y r’2 de la recta.

Otro método de hallar las otras proyecciones de la recta, es elegir dos puntos de ella y determinar las otras proyecciones de estos puntos por medio del paralelepípedo de referencia, uniendo luego sus proyecciones homónimas.

En este sistema, se supone al observador situado dentro del triedro OXYZ, por lo que sólo serán vistos los puntos situados en su interior, por tanto, para determinar las partes vistas y ocultas de una recta, tendremos que auxiliarnos de sus trazas puesto que precisamente las trazas vistas son las que nos limitan la parte vista de la recta. En la figura anterior, las trazas vistas W’, y H’r nos determinan la porción vista de la recta.

Para designar las trazas utilizaremos únicamente sus proyecciones directas H’r, V’r y W’r puesto que las otras están, como se ve en la figura, confundidas con ellas o sobre los ejes coordenados.

5.4.1. Posiciones particulares de la recta.

Recta situada en un plano coordenado.

Por estar sobre XZ ( Fig. 13 ), r’ coincide con r’1 y r’2, y r’3 con X’ y Z’, respectivamente.

Fig. 13

Si además de estar situada en YZ, es paralela a Z, t’ es paralela a Z’ y t’ se reduce a un punto.

Recta que corta a un eje.

Por cortar a Z ( Fig. 14 ), las proyecciones r’2 y r’3 concurren con r’ en el punto de intersección con el eje que, además, coincide con las trazas V’r y W’r. La otra proyección r’1 pasa por O.

Fig. 14

Recta que pasa por el origen.

Se ve en la figura anterior que todas las proyecciones de t concurren en O.

Recta paralela a un plano coordenado.

Si es paralela al horizontal ( Fig. 15 ) r’ y r’1 son paralelas entre sí, puesto que su traza horizontal H’r está en el infinito. Las otras proyecciones r’2 y r’3 son paralelas a X’ e Y’.

Si es paralela a dos planos coordenados, como la t’‑t’l, lo es también a su intersección Y, por lo que t’, t’1 y t’3 son paralelas a Y’ y t’2 se reduce a un punto, confundido con la traza V’t.

Fig. 15

Recta perpendicular al plano de proyección.

Tracemos por el origen O ( Fig. 16 ) una recta r perpendicular al plano de proyección p. Su proyección directa, r’ se reduce a un punto, confundido con O.

Fig. 16

El plano a determinado por r y Z es normal al XY, por serlo Z, y a p, por serlo r, luego su intersección OA1 con XY es la proyección horizontal r1 de la recta y la ta con p, coincide con las proyecciones r’1 y Z’ de r1 y Z, respectivamente.

Resulta pues, que r’1 se confunde con Z’ y por análogo razonamiento, r’2 con Y’ y r’3 con X’ ( Fig. 17 ), siendo las prolongaciones de los ejes axonométricos, las proyecciones vistas de la recta.

Fig. 17

Si la rectas no pasa por el origen ( Fig. 18 ) su proyección directa r’ sigue siendo un punto en el que coinciden las trazas H’r, V’r y W’r y las proyecciones de r’1, r’2 y r’3 son respectivamente paralelas a Z’, Y’ y X’.

Fig. 18

5.5. Representación del plano.

El plano se representa por medio de sus trazas con los coordenados. Así como en el sistema diédrico, las dos trazas de un plano se cortaban en un punto de la línea de tierra, en este sistema, las tres trazas se cortan, dos a dos, en un punto de cada eje. Estas tres trazas, prolongadas si es necesario, forman un triángulo ( Triángulo de las trazas ) cuyos vértices se encuentran sobre cada uno de los ejes o sus prolongaciones.

En la Figura.19, se ha representado un plano a cuyas trazas se cortan como acabamos de indicar. Así, las h’a y v’a se cortan en la prolongación del eje X’, las v’a y w’a, sobre Z’ y las h’a y w’a, sobre Y’. El triángulo de las trazas está formado por la traza w’a las prolongaciones de h’a y v’a.

Para que una recta esté situada en un plano, sus trazas deben estar situadas en las homónimas del plano o, a la inversa, para que un plano contenga a una recta, sus trazas deben pasar por las homónimas de la recta.

Esto nos sirve para hallar las trazas de un plano determinado por dos rectas r y t que se cortan en un punto I. Para ello, determinaremos dos trazas H’r, y V’r, de r y las homónimas, H’t y V’t de t y uniéndolas, obtenemos las trazas h’a y v’a cuyas intersecciones con Y’ y Z’ nos determinan la otra traza w’a.

Las trazas del plano a las representaremos por la letra del plano coordenado a que corresponda, en minúscula, añadiéndole la letra