TEMA 22.

REPRESENTACION EN SISTEMA DIEDRICO

INDICE:

1. Fundamentos del Sistema Diédrico

1.1.- Códigos habituales de Notación

2. Representación del punto

2.1.- Alfabeto del punto

3. La recta

3.1.- Tipos de rectas.

4. El plano

4.1.- Formas de definir un plano

4.2.- Alfabeto del plano

5. Intersecciones

5.1.- Intersección de dos planos

5.1.1.- Método para hallar puntos de la intersección de dos planos a y b

5.1.2.- Intersección de dos planos proyectantes

5.1.3.- Intersección de un plano cualquiera a₁-a₂ con otro paralelo a la línea de tierra b₁-b₂.

5.1.4.- Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra (1er método).

5.1.5.- Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra (2º método).

5.1.6.- Intersección de un plano cualquiera a₁-a₂ con otro perpendicular al segundo plano bisector b₁-b₂.

5.1.7.- Intersección de los planos a₁-a₂ y b₁-b₂.

5.2.- Intersección de una recta cualquiera con un plano.

6. Paralelismo

6.1.- Rectas paralelas entre sí.

6.2.- Rectas paralelas a un plano.

6.3.- Rectas paralelas.

7. Perpendicularidad

7.1.- Recta perpendicular a un plano.

7.2.- Recta perpendicular a un plano que está definido por dos rectas cualesquiera.

7.3.- Plano perpendicular a una recta.

7.4.- Rectas perpendiculares entre sí.,

7.5.- Planos perpendiculares entre sí.

8. Distancias

8.1.- Distancia entre dos puntos.

8.1.1.- Distancia entre dos puntos si estos están en distintos diedros.

8.2.- Distancia de un punto a una recta.

8.3.- Distancia de un punto a un plano.

8.4.- Distancia entre dos rectas paralelas.

8.5.- Distancia entre dos planos paralelos.

9.- Abatimientos

9.1.- Abatimiento de un punto.

9.1.1.- Abatimiento de un punto sobre el horizontal

9.1.2.- Abatimiento de un punto sobre el vertical.

9.1.3.- Abatimiento de un punto sobre un plano paralelo a uno de los de proyección.

9.2.- Abatimiento de una recta

9.2.1.- Abatimiento de una recta en diedrico

9.3.- Abatimiento de un plano

9.3.1.-Abatimiento de planos proyectantes

9.4.- Abatimiento de una figura plana

10.- Principios generales de representación

10.1.- Vistas necesarias de una pieza

10.2.- Denominación de las vistas

10.3.- Posiciones relativas de las vistas

10.4.- Elección de las vistas

10.4.1.- Vistas particulares

10.4.2.- Vistas auxiliares simples

10.4.3.- Vistas auxiliares dobles

10.4.4.- Vistas locales

SISTEMA DIEDRICO.

I.-FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO.

El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones.

En el sistema diédrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre sí, llamados plano de proyección VERTICAL y plano de proyección HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la particularidad de ser paralelos entre sí, se cortarán en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT).

De modo que el espacio debido ha estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO ó CUADRANTE.

Además de estos dos planos existen otros dos, no menos importantes, que dividen los diedros mencionados en dos partes iguales. Estos planos forman 45º con los planos de proyección y se cortan entre ellos y a los planos de proyección en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES, y a los dos nuevos planos causantes de esta segunda división planos BISECTORES.

Lo expuesto hasta el momento nos da una visión del sistema de representación en el espacio. Pasemos, pues a continuación a representarlo al plano, para ello tendremos que abatir el plano de proyección horizontal sobre el plano de proyección vertical utilizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedará como único elemento de referencia la LT.

En ocasiones, es necesario realizar una tercera vista o proyección del elemento que estamos representando para su total definición y comprensión, esta proyección se realiza sobre un tercer plano de proyección denominado plano de PERFIL.

1.1.- CODIGOS HABITUALES DE NOTACIÓN.

La LT se representará en el presente trabajo mediante una línea llena fina con dos segmentos bajo sus extremos.

La nomenclatura del punto a través de letras mayúsculas, diferenciando si se trata de una proyección horizontal (mediante el subíndice 1 ó(‘)), de una proyección vertical( mediante el subíndice 2 ó(‘’)) o de una tercera proyección, la de perfil( mediante el subíndice 3 ó(‘’’)).

La nomenclatura de las rectas mediante letras minúsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyección horizontal, vertical o de perfil mediante los subíndices 1, 2 y 3 respectivamente.

Para la nomenclatura del plano utilizaremos el alfabeto griego en minúscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones mediante los subíndices 1, 2 y 3.

2.-REPRESENTACIÓN DEL PUNTO.

El sistema diédrico de representación consiste en obtener las distintas proyecciones de un elemento, en este caso un punto, mediante la proyección de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyección. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyección Horizontal obtendremos la proyección horizontal del punto A (A₁). Repitiendo la misma operación sobre el plano de proyección vertical obtenemos la proyección vertical del punto A, que es A₂ y lo mismo con la tercera proyección o de perfil A₃.

El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyección: A(d,a,c). La primera coordenada nos indica la distancia al plano de proyección de perfil (denominada como distancia), la segunda coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección vertical( denominada alejamiento) y la tercera coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección horizontal (denominada cota).

2.1- ALFABETO DEL PUNTO.

Obtendremos ahora en proyección las distintas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio.

Características de los puntos según los distintos diedros que ocupan:

Los puntos situados en el 1er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por debajo de la L.T. o en ella y su proyección vertical por encima de la L.T. o en ella.

Los puntos situados en el 2º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección vertical como la horizontal por encima de la L.T. o en ella.

Los puntos situados en el 3er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por encima de la L.T. o en ella y su proyección vertical por debajo de la L.T. o en ella.

Los puntos situados en el 4º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección horizontal como la vertical por debajo de la L.T. o en ella.

3.- LA RECTA

La proyección de una recta sobre un plano, es otra recta. Esta recta está formada por la proyección de todos los puntos de la recta que se quiere proyectar. Una recta está definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. Donde la recta corta a los planos de proyección, tenemos sus trazas H ( traza horizontal) y V (traza vertical).H₁ es la proyección horizontal dela traza horizontal, se la conoce con el nombre de traza horizontal, y la proyección vertical de la traza horizontal H₂ se encuentra sobre la L.T. Del mismo modo V₂ es la proyección vertical de la traza vertical de la recta, se le denomina traza vertical y la proyección horizontal de la traza vertical V₁ está sobre la L.T. De esta forma la proyección vertical de la recta r₂ queda definida al unir V₂ con H₂ y la proyección horizontal r₁ al unir H₁ con V₁.

3.1- TIPOS DE RECTAS

a) Recta horizontal: recta paralela al P.H. todos sus puntos deben de tener la misma cota.

b) Recta frontal: recta paralela al P.V. todos sus puntos deben de tener el mismo alejamiento.

c) Recta de punta al P.H. es una recta perpendicular al P.H. y sólo tiene traza horizontal.

d) Recta de punta al P.V. es una recta perpendicular al P.V. y sólo tiene traza vertical.

e) Recta paralela a L.T. ésta recta es paralela a los dos planos de proyección P.H. y P.V.

f) Recta de perfil es una recta paralela al plano de perfil ( plano auxiliar).

4.- EL PLANO

Las trazas de un plano son los vértices en los que dicho plano corta a P.H y P.V. Un plano tiene dos trazas: vertical (a₂) y horizontal (a₁). Como se indica el figura las dos trazas del plano siempre se han de cortar en un punto y en la linea de tierra.

Para que una recta pertenezca a un plano, es decir esté contenida en él, es necesario que la traza vertical de la recta v₂ esté sobre la traza vertical del plano a₂ y del mismo modo la traza horizontal de la recta h₁ deberá estar sobre la traza horizontal del plano a₁.

4.1.-FORMAS DE DEFINIR UN PLANO

En la geometría del espacio un plano lo podemos definir de cuatro formas diferentes:

a) Mediante dos rectas que se cortan.

b) Mediante tres puntos no alineados.

c) Mediante una recta y un punto que no se pertenezcan.

En realidad lostres casos anteriores son el mismo. En todos ellos debemos conseguir dos rectas que se corten un un punto, puesto que éstas siempre formarán un plano. Partiendo de tres puntos no alineados, bastará con unir los puntos de dos en dos y así obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. Partiendo de una recta y un punto que no esté contenido en dicha recta, batará con hacer pasar otra recta por el punto dado y por un punto perteciente a la recta dada, obteniendo así el primer caso. Una vez reducidos los casos b) y c) al caso a) bastará con obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales y las verticales de las rectas, para unir entre sí las proyecciones horizontales de la traza horizontal de las rectas(H₁) y obtener así la traza horizontal del plano a₁, para obtener la traza vertical a₂ del plano deberemos proceder del mismo modo con las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas.

d) Mediante dos rectas paralelas.

Obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza horizontal del plano.

Obtener las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza vertical del plano.

e) mediante la linea de máxima pendiente ó de máxima inclinación.

En el sistema diédrico tenemos para cada plano dos tipos de líneas de máxima pendiente. Una con respecto al plano horizontal y otra con respecto al plano vertical (denominada también LINEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN). En la figura se muestra un plano a y contenida en él una recta m perpendicular a la traza a₁. Al proyectar dicha recta sobre el plano horizontal, la proyección m₁ será perpendicular a a₁. Esta recta será l.m.p. del plano a con respecto al plano horizontal y cualquier otra recta contenida en el plano formará con el plano horizontal un ángulo menor que ésta.

En la siguiente figura se muestran las proyecciones de la l.m.p. m (con respecto al plano horizontal) de un plano a. La única condición que debe cumplir es que la proyección m₁ sea perpendicular a la traza a₁. Cualquier recta

paralela a m₁ y contenida en el plano a será también l.m.p del plano con respecto al plano horizontal.

En la figura de la derecha se muestra el caso de la l.m.p. con respecto al plano vertical. En este caso m₂ es perpendicular a la traza a₂.

4.2.-ALFABETO DEL PLANO

· El plano a es un plano oblicuo cualquiera.

· El plano b es un plano proyectante horizontal: la proyección horizontal de todos los puntos y rectas que contiene coincide con su traza horizontal.

· El plano g es un plano proyectante vertical: las proyecciones verticales de todos sus puntos y rectas que contiene coinciden con su traza vertical.

· El plano d es un plano de perfil.

· El plano e es un plano paralelo a la L.T: las trazas que contiene también son paralelas a la L.T. Si la cota y alejamiento es diferente existen diversas posiciones. Si la cota y el alejamiento es la misma entonces estaremos ante un plano perpendicular a su bisector.

· El plano s es un plano paralelo al P.V: las rectas y puntos, sus proyecciones horizontales, coinciden con su traza horizontal. Las rectas y puntos en su proyección vertical va ha estar en verdadera magnitud.

· El plano r es un plano paralelo al P.H: no existe traza horizontal. La proyección vertical coincide con la traza vertical. Las rectas y puntos en su proyección horizontal las vemos en verdadera magnitud.

· El plano l es un plano que contiene a la L.T: si la cota y alejamiento del punto es igual pertenece al 1er bisector, en caso de que sea diferente estamos ante un plano que contiene a la línea de tierra.

5.- INTERSECCIONES

5.1.-INTERSECCION DE DOS PLANOS

Sean dos planos a₁-a₂ y b₁-b₂ cuya intersección I vamos a determinar.

Elijamos como plano auxiliar el horizontal de proyección PH, que al contener las trazas horizontales a₁b₁ nos da el punto H₁H₂, de la intersección, eligiendo así mismo el plano vertical de proyección PV, con las trazas verticales a₂-b₂, obtenemos el punto V₁-V₂, con lo cual queda definida la intersección I, cuyas proyecciones i₁-i₂ serán las rectas de unión de las proyecciones homónimas H₁V₁ y H₂V₂ respectivamente.

5.1.1.- METODO PARA HALLAR PUNTOS DE LA INTERSECCION DE DOS PLANOS a Y b.

a) Trazo un plano auxiliar g (el más sencillo posible, paralelo al horizontal o al vertical etc…).

b) g&a = r ü

ý r & s º o Î I

g&b = s þ

5.1.2.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PROYECTANTES

Uno es un plano proyectante horizontal a₁ - a₂ y el otro proyectante vertical b₁- b₂.

Es indudable que utilizando los planos de proyección como planos auxiliares, obtenemos dos puntos de la intersección buscada, que son sus trazas H₁-H₂ y V₁-V₂, pudiendo por tanto anotar la intersección i₁-i₂.

Como se observa, las proyecciones de esta intersección se confunden con las trazas de los planos; lo cual concuerda con las características de los planos en cuestión, que al ser proyectantes tienen la propiedad de que “ todo elemento que contengan se proyecta según su traza”.

5.1.3.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA a₁- a₂ CON OTRO PARALELO A LA LINEA DE TIERRA b₁-b₂.

Hallamos las trazas de la recta de intersección: H₁-H₂ y V₁-V₂ que nos determinan i₁-i₂.

5.1.4.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (1er. Método).

El primer método consiste en apoyarnos en el plano de perfil. Calcular u obtener las trazas de los planos a y b en el plano de perfil y obtener su intersección I₃. A continuación deshabatirlo y obtener las rectas I₁ e I₂.puesto

que ya sabemos de antemano que la intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra va ha dar una recta I también paralela a la L.T.

5.1.5.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (2º Método).

El 2º método consiste en utilizar el procedimiento general. Trazamos un plano cualquiera g que corta a los planos a y b. A continuación trazamos la recta de intersección del plano a con g que será r.

Después trazamos la recta de intersección del plano b con g que es s. Estas dos rectas r y s se cortarán en un punto porque pasará la recta I intersección de los planos a y b. Sabiendo que dicha recta I debe ser paralela a L.T. la trazamos.

5.1.6.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA a₁-a₂ CON OTRO PERPENDICULAR AL SEGUNDO PLANO BISECTOR b₁-b₂.

5.1.7.- INTERSECCION DE LOS PLANOS a₁-a